二进制编码、定点数与浮点数

1. 二进制编码

1.1. 字符串的表示，从编码到数字

不仅数值可以用二进制表示，字符乃至更多的信息都能用二进制表示。最典型的例子就是字符串（Character String）。最早计算机只需要使用英文字符，加上数字和一些特殊符号，然后用 8 位的二进制，就能表示我们日常需要的所有字符了，这个就是我们常常说的ASCII 码（American Standard Code for Information Interchange，美国信息交换标准代码）。

字符集，表示的可以是字符的一个集合。“第一版《新华字典》里面出现的所有汉字”，这是一个字符集。比如，我们日常说的 Unicode，其实就是一个字符集，包含了 150 种语言的 14 万个不同的字符。

而字符编码则是对于字符集里的这些字符，怎么一一用二进制表示出来的一个字典。我们上面说的 Unicode，就可以用 UTF-8、UTF-16，乃至 UTF-32 来进行编码，存储成二进制。

2. 浮点数和定点数

2.1. 浮点数的表示

单精度的 32 个比特可以分成三部分。

第一部分是一个符号位，用来表示是正数还是负数。我们一般用s来表示。在浮点数里，我们不像正数分符号数还是无符号数，所有的浮点数都是有符号的。

接下来是一个 8 个比特组成的指数位。我们一般用e来表示。8 个比特能够表示的整数空间，就是 0～255。我们在这里用 1～254 映射到 -126～127 这 254 个有正有负的数上。因为我们的浮点数，不仅仅想要表示很大的数，还希望能够表示很小的数，所以指数位也会有负数。

最后，是一个 23 个比特组成的有效数位。我们用f来表示。综合科学计数法，我们的浮点数就可以表示成下面这样：

(−1)s×1.f×2e

在这样的表示方式下，浮点数能够表示的数据范围一下子大了很多。正是因为这个数对应的小数点的位置是“浮动”的，它才被称为浮点数。随着指数位 e 的值的不同，小数点的位置也在变动。对应的， BCD 编码的实数，就是小数点固定在某一位的方式，我们也就把它称为定点数。

2.2. 浮点数的二进制转化

我们输入一个任意的十进制浮点数，背后都会对应一个二进制表示。比方说，我们输入了一个十进制浮点数 9.1。那么按照之前的讲解，在二进制里面，我们应该把它变成一个“符号位 s+ 指数位 e+ 有效位数 f”的组合。

2.3. 浮点数的加法和精度损失

先对齐、再计算。

回到浮点数的加法过程，其中指数位较小的数，需要在有效位进行右移，在右移的过程中，最右侧的有效位就被丢弃掉了。这会导致对应的指数位较小的数，在加法发生之前，就丢失精度。两个相加数的指数位差的越大，位移的位数越大，可能丢失的精度也就越大。

2.4. Kahan Summation 算法

虽然我们在计算浮点数的时候，常常可以容忍一定的精度损失，但是像上面那样，如果我们连续加 2000 万个 1，2000 万的数值都会被精度损失丢掉了，就会影响我们的计算结果。

一种叫作Kahan Summation的算法解决了这个问题。

public class KahanSummation {public static void main(String[] args) {float sum = 0.0f;float c = 0.0f;for (int i = 0; i < 20000000; i++) {float x = 1.0f;float y = x - c;float t = sum + y;c = (t-sum)-y;sum = t;    	}System.out.println("sum is " + sum);   }	
}

这个算法的原理是，在每次的计算过程中，都用一次减法，把当前加法计算中损失的精度记录下来，然后在后面的循环中，把这个精度损失放在要加的小数上，再做一次运算。

这个方法在实际的数值计算中也是常用的，也是大量数据累加中，解决浮点数精度带来的“大数吃小数”问题的必备方案。