神经网络|(十六)概率论基础知识-伽马函数·上

【1】引言

前序学习进程中，对经典的二项分布和正态分布已经有一定的掌握。
今天为学习一种稍显复杂的分布提前布局一下，学习伽马函数。

【2】伽马函数

伽马函数有两种经典写法，一种是积分形式，另一种是无穷乘积形式。

【2.1】积分形式

对于所有大于0的复数$z$，伽马函数定义为：
$$\Gamma (z)={\int }_0^{+\infty }{t}^{z-1}{e}^{-t}dt$$
这个积分式子在$z>0$时收敛。

【2.2】无穷乘积形式

$$\Gamma (z)=\frac{1}{z}\prod _{n=1}^{+\infty }\frac{(1+\frac{1}{n}{)}^z}{1+\frac{z}{n}}$$
这种形式的伽马函数在$z=0,-1,-2,...$处存在极点，函数值会趋向于无穷大。

【3】溯源

如果只知道定义式，很难理解伽马函数的意义。为此，我们很有必要溯源。

【3.1】阶乘-离散式子

中学阶段我们就知道，正整数$n$的阶乘计算式为：
$$n!=n\times (n-1)\times (n-2)\times ...\times 2\times 1$$
以及$0!=1$
很明显，这样的阶乘计算只能计算非负整数，定义域比较有限。

【3.2】积分-连续式子

【3.1】阶乘改写

上述$n!$可以改写成下式：
$$n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)}$$这个式子的作用是，用$k$的幂次抵消乘积的增长，让极限趋向于有限值。
证明这个式子：
第一步：
$$(n+1)(n+2)...(n+k)=\frac{(n+k)!}{n!}$$
第二步，代入阶乘式有：
$$\begin{gathered} n!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}= \\ n!li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!} \end{gathered}$$
所以对式子的证明，可以简化为：
$$li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}=1$$

第三步：
因为：
$$(n+k)!=[k!][(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)]$$
所以：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{[k!][(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)} \end{gathered}$$
第四步：分母每个括号中都提取一个$k$：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{[k(1+\frac{1}{k})][k(1+\frac{2}{k})]\cdot \cdot \cdot [k(1+\frac{n}{k})]}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{k^n\cdot (1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{1}{(1+\frac{1}{k})(1+\frac{2}{k})\cdot \cdot \cdot (1+\frac{n}{k})} \end{gathered}$$
对于上述计算式，当$k\to +\infty$时，分母的乘积为1，所以：
$$li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}=1$$

第五步，反过来再直接推一遍式子：
因为：
$$\begin{gathered} li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n}{(k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}=1 \\ =li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{k!\cdot (k+1)(k+2)\cdot \cdot \cdot (k+n)}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(k+n)!}=1 \end{gathered}$$
所以
$$\begin{gathered} n!=n!\cdot li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!\cdot n!}{(n+k)!}= \\ li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^n\cdot k!}{(n+1)(n+2)...(n+k)} \end{gathered}$$

【4】细节说明

阶乘形式的伽马函数主要适用于整数，如果把证书替换成任意实数，就会有：
$$x!=li{m}_{k\to +\infty }\frac{k^x\cdot k!}{(x+1)(x+2)...(x+k)}$$
此时，只要$x$不是负整数，因为负整数会导致分母为0，上述计算式就能执行，此时阶乘形式的伽马函数被扩展到除负整数以外的所有实数。

【5】总结

初步学习了伽马函数并对伽马函数展开了溯源。