概率论基础教程第六章 随机变量的联合分布(一)

第6章 随机变量的联合分布

6.1 联合分布函数

联合分布函数用于多个随机变量同时出现的概率特性。

定义

联合分布

设 $ X $ 和 $ Y $ 是两个随机变量，其联合累积分布函数定义为：

F(a,b)=P{X≤a,Y≤b},−∞<a,b<∞ F(a, b) = P\{X \leq a, Y \leq b\}, \quad -\infty < a, b < \infty F(a,b)=P{X≤a,Y≤b},−∞<a,b<∞

该函数描述了 $ X $ 和 $ Y $ 同时不超过某个值的概率。

边缘分布

从联合分布可以导出单个变量的分布，称为边缘分布。

• 对于 $ X $：
  FX(a)=P{X≤a}=lim⁡b→∞F(a,b)≡F(a,∞) F_X(a) = P\{X \leq a\} = \lim_{b \to \infty} F(a, b) \equiv F(a, \infty) FX​(a)=P{X≤a}=b→∞lim​F(a,b)≡F(a,∞)

• 对于 $ Y $：
  FY(b)=P{Y≤b}=lim⁡a→∞F(a,b)≡F(∞,b) F_Y(b) = P\{Y \leq b\} = \lim_{a \to \infty} F(a, b) \equiv F(\infty, b) FY​(b)=P{Y≤b}=a→∞lim​F(a,b)≡F(∞,b)

理论上，所有涉及 $ X $ 和 $ Y $ 的联合概率都可以通过 $ F(a,b) $ 求解。

例如，求 $ P{X > a, Y > b} $：

P{X>a,Y>b}=1−P({X>a,Y>b}c)=1−P({X≤a}∪{Y≤b})=1−[P{X≤a}+P{Y≤b}−P{X≤a,Y≤b}]=1−FX(a)−FY(b)+F(a,b)(1.1) \begin{array}{rcl} P\{X > a, Y > b\} & = & 1 - P\left(\{X > a, Y > b\}^c\right) \\ & = & 1 - P\left(\{X \leq a\} \cup \{Y \leq b\}\right) \\ & = & 1 - \left[P\{X \leq a\} + P\{Y \leq b\} - P\{X \leq a, Y \leq b\}\right] \\ & = & 1 - F_X(a) - F_Y(b) + F(a, b) \end{array} \tag{1.1} P{X>a,Y>b}​====​1−P({X>a,Y>b}c)1−P({X≤a}∪{Y≤b})1−[P{X≤a}+P{Y≤b}−P{X≤a,Y≤b}]1−FX​(a)−FY​(b)+F(a,b)​(1.1)

更一般地，对于区间概率：

P{a1≤X≤a2,b1≤Y≤b2}=F(a2,b2)+F(a1,b1)−F(a1,b2)−F(a2,b1)(1.2) P\{a_1 \leq X \leq a_2, b_1 \leq Y \leq b_2\} = F(a_2, b_2) + F(a_1, b_1) - F(a_1, b_2) - F(a_2, b_1) \tag{1.2} P{a1​≤X≤a2​,b1​≤Y≤b2​}=F(a2​,b2​)+F(a1​,b1​)−F(a1​,b2​)−F(a2​,b1​)(1.2)
其中 $ a_1 \leq a_2, b_1 \leq b_2 $。

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联合分布列

当 $ X $ 和 $ Y $ 均为离散型时，定义其联合概率质量函数（joint PMF）为：

p(x,y)=P{X=x,Y=y} p(x, y) = P\{X = x, Y = y\} p(x,y)=P{X=x,Y=y}

边缘分布列由求和得到：

• $ p_X(x) = P{X = x} = \sum_{y: p(x,y)>0} p(x,y) $
• $ p_Y(y) = P{Y = y} = \sum_{x: p(x,y)>0} p(x,y) $

这些称为边缘分布列（marginal PMF），因其在联合分布表中位于“边缘”位置。

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例 1a：抽球问题

坛中有 3 红球、4 白球、5 蓝球，从中随机抽取 3 个球。令 $ X $：红球数，$ Y $：白球数。

计算联合分布列 $ p(i,j) = P(X=i, Y=j) $，使用超几何模型：

$$p(i,j)=\frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{i}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{j}\right)\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{3-i-j}\right)}{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{12}{3}\right)},\text{其中 }i+j\le 3$$

具体计算如下：

$ i \backslash j $	0	1	2	3	行和 $ = P(X=i) $
0	$ \frac{10}{220} $	$ \frac{40}{220} $	$ \frac{30}{220} $	$ \frac{4}{220} $	$ \frac{84}{220} $
1	$ \frac{30}{220} $	$ \frac{60}{220} $	$ \frac{18}{220} $	0	$ \frac{108}{220} $
2	$ \frac{15}{220} $	$ \frac{12}{220} $	0	0	$ \frac{27}{220} $
3	$ \frac{1}{220} $	0	0	0	$ \frac{1}{220} $
列和 $ = P(Y=j) $	$ \frac{56}{220} $	$ \frac{112}{220} $	$ \frac{48}{220} $	$ \frac{4}{220} $

例 1b：家庭孩子性别分布

某社区家庭子女分布：

• 无孩：15%
• 1孩：20%
• 2孩：35%
• 3孩：30%

每个孩子为男孩或女孩的概率均为 $ \frac{1}{2} $，且独立。

令 $ B $：男孩数，$ G $：女孩数。

计算联合分布列 $ P(B=i, G=j) $：

• $ P(B=0, G=0) = P(\text{无孩}) = 0.15 $
• $ P(B=0, G=1) = P(1\text{孩}) \cdot P(\text{女孩}) = 0.20 \times \frac{1}{2} = 0.10 $
• $ P(B=0, G=2) = P(2\text{孩}) \cdot P(\text{两女}) = 0.35 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 0.0875 $
• $ P(B=0, G=3) = 0.30 \times \left(\frac{1}{2}\right)^3 = 0.0375 $

其余类似（如 $ P(B=1,G=1) = 0.20 \times \frac{1}{2} = 0.10 $，$ P(B=2,G=0) = 0.35 \times \frac{1}{4} = 0.0875 $，等等）

结果见下表：

$ i \backslash j $	0	1	2	3	$ P(B=i) $
0	0.15	0.10	0.0875	0.0375	0.3750
1	0.10	0.175	0.1125	0	0.3875
2	0.0875	0.1125	0	0	0.2000
3	0.0375	0	0	0	0.0375
$ P(G=j) $	0.375	0.3875	0.2000	0.0375

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联合密度函数

若存在非负函数 $ f(x,y) $，使得对任意二维区域 $ C $ 有：

$$P\{(X,Y)\in C\}={\iint }_{(x,y)\in C}f(x,y)dxdy\text{\hspace{1em}(1.3)}$$

则称 $ X,Y $ 为联合连续型随机变量，$ f(x,y) $ 为联合概率密度函数。

特别地，若 $ A,B $ 为实数集，则：

P{X∈A,Y∈B}=∫B∫Af(x,y) dx dy(1.4) P\{X \in A, Y \in B\} = \int_B \int_A f(x,y)\,dx\,dy \tag{1.4} P{X∈A,Y∈B}=∫B​∫A​f(x,y)dxdy(1.4)

由联合密度求联合分布函数
F(a,b)=P{X≤a,Y≤b}=∫−∞b∫−∞af(x,y) dx dy F(a,b) = P\{X \leq a, Y \leq b\} = \int_{-\infty}^b \int_{-\infty}^a f(x,y)\,dx\,dy F(a,b)=P{X≤a,Y≤b}=∫−∞b​∫−∞a​f(x,y)dxdy

若偏导数存在，则：

$$f(a,b)=\frac{{\partial }^2}{\partial a\partial b}F(a,b)$$

直观理解密度函数

对于很小的 $ da, db $，有：

P{a<X<a+da,b<Y<b+db}≈f(a,b) da db P\{a < X < a+da, b < Y < b+db\} \approx f(a,b)\,da\,db P{a<X<a+da,b<Y<b+db}≈f(a,b)dadb

即 $ f(a,b) $ 反映了 $ (X,Y) $ 在点 $ (a,b) $ 附近取值的“可能性密度”。

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边缘密度函数

• $ X $ 的边缘密度：
  $$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$$

• $ Y $ 的边缘密度：
  $$f_Y(y)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dx$$

例 1c：指数型联合密度

设 $ X,Y $ 的联合密度为：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}2e^{-x}{e}^{-2y},& x>0,y>0\\ 0,& \text{否则}\end{array}$$

求：

(a) $ P(X > 1, Y < 1) $
$$\begin{array}{rl}P(X>1,Y<1)& ={\int }_0^1{\int }_1^{\infty }2e^{-x}{e}^{-2y}dxdy\\ & ={\int }_0^{1}2e^{-2y}{\left[-e^{-x}\right]}_1^{\infty }dy={\int }_0^{1}2e^{-2y}{e}^{-1}dy\\ & =e^{-1}{\int }_0^{1}2e^{-2y}dy=e^{-1}(1-e^{-2})\end{array}$$

(b) $ P(X \leq Y) $

$$\begin{array}{rl}P(X\le Y)& ={\iint }_{x\le y}2e^{-x}{e}^{-2y}dxdy\\ & ={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{y}2e^{-x}{e}^{-2y}dxdy={\int }_0^{\infty }2e^{-2y}(1-e^{-y})dy\\ & ={\int }_0^{\infty }2e^{-2y}dy-{\int }_0^{\infty }2e^{-3y}dy=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\end{array}$$

© $ P(X < a) $

$$\begin{array}{rl}P(X<a)& ={\int }_0^a{\int }_0^{\infty }2e^{-x}{e}^{-2y}dydx\\ & ={\int }_0^a{e}^{-x}\left({\int }_0^{\infty }2e^{-2y}dy\right)dx={\int }_0^a{e}^{-x}\cdot 1dx=1-e^{-a}\end{array}$$

例 1d：圆内均匀分布

在半径为 $ R $ 的圆内随机选一点，服从均匀分布。

设 $ (X,Y) $ 为坐标，则联合密度：

$$f(x,y)=\{\begin{array}{ll}c,& x^2+y^2\le R^2\\ 0,& \text{否则}\end{array}$$

(a) 求常数 $ c $：

[!NOTE]

对于平面上的一个区域 $ D \subset \mathbb{R}^2 $，其面积可以用二重积分表示为：

$$\text{Area}(D)={\iint }_{D}1dxdy$$

也就是说：在整个区域上对常数函数 1 积分，结果就是该区域的面积。

所以：

$${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}dxdy=\text{以原点为中心、半径为 }R\text{ 的圆的面积}=\pi R^2$$

$${\iint }_{x^2+y^2\le R^2}cdxdy=c\cdot \pi R^2=1\Rightarrow c=\frac{1}{\pi R^2}$$

(b) 边缘密度 $ f_X(x) $：
$$f_X(x)={\int }_{-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\frac{1}{\pi R^2}dy=\frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2},|x|\le R$$

同理，$ f_Y(y) = \frac{2}{\pi R^2} \sqrt{R^2 - y^2},\ |y| \leq R $

[!NOTE]

边缘密度 $ f_X(x) $ 是通过对联合密度 $ f(x,y) $ 关于 $ y $ 积分得到的：

$$f_X(x)={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy$$

但由于 $ f(x,y) $ 只在圆 $ x^2 + y^2 \leq R^2 $ 内非零，所以我们只需要对满足这个条件的 $ y $ 积分。

对于一个固定的 $ x $，要使得 $ (x, y) $ 落在圆内，必须满足：

$$x^2+y^2\le R^2\Rightarrow y^2\le R^2-x^2\Rightarrow |y|\le \sqrt{R^2-x^2}$$

所以：

• 当 $ |x| > R $：没有 $ y $ 满足条件 → $ f_X(x) = 0 $
• 当 $ |x| \leq R $：$ y \in \left[ -\sqrt{R^2 - x^{2}, \sqrt{R}2 - x^2} \right] $

情况 1：当 $ |x| > R $ 时
$$f_X(x)=0$$

因为联合密度在这些 $ x $ 处恒为 0。

情况 2：当 $ |x| \leq R $ 时
$$\begin{array}{rl}{f}_X(x)& ={\int }_{-\infty }^{\infty }f(x,y)dy\\ & ={\int }_{y=-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\frac{1}{\pi R^2}dy\text{（因为在该区间内 }f(x,y)=\frac{1}{\pi R^2}\text{）}\\ & =\frac{1}{\pi R^2}\cdot {\left[y\right]}_{y=-\sqrt{R^2-x^2}}^{\sqrt{R^2-x^2}}\\ & =\frac{1}{\pi R^2}\cdot \left(\sqrt{R^2-x^2}-(-\sqrt{R^2-x^2})\right)\\ & =\frac{1}{\pi R^2}\cdot 2\sqrt{R^2-x^2}\\ & =\frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2}\end{array}$$

综上：
$$f_X(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{2}{\pi R^2}\sqrt{R^2-x^2},& |x|\le R\\ 0,& |x|>R\end{array}$$

© 原点距离 $ D = \sqrt{X^2 + Y^2} $ 的分布：
$$F_D(a)=P(D\le a)=P(X^2+Y^2\le a^2)=\frac{\pi a^2}{\pi R^2}=\frac{a^2}{R^2},0\le a\le R$$

(d) $ E[D] $：

$$f_D(a)=\frac{d}{da}{F}_D(a)=\frac{2a}{R^2},0\le a\le R\Rightarrow E[D]={\int }_0^{R}a\cdot \frac{2a}{R^2}da=\frac{2}{R^2}{\int }_0^R{a}^{2}da=\frac{2R}{3}$$

例 1e：比值分布

设 $ f(x,y) = e^{-(x+y)},\ x>0,y>0 $

求 $ Z = X/Y $ 的密度函数。

先求分布函数：

$$\begin{array}{rl}{F}_Z(a)& =P\left(\frac{X}{Y}\le a\right)={\iint }_{x/y\le a}{e}^{-(x+y)}dxdy\\ & ={\int }_0^{\infty }{\int }_0^{ay}{e}^{-(x+y)}dxdy={\int }_0^{\infty }(1-e^{-ay})e^{-y}dy\\ & ={\int }_0^{\infty }{e}^{-y}dy-{\int }_0^{\infty }{e}^{-(a+1)y}dy=1-\frac{1}{a+1}\end{array}$$

求导得密度：

$$f_Z(a)=\frac{d}{da}{F}_Z(a)=\frac{1}{(a+1{)}^2},a>0$$

---

n 维联合分布

推广到 $ n $ 个随机变量 $ X_1,\dots,X_n $：

• 联合分布函数：
  F(a1,…,an)=P{X1≤a1,…,Xn≤an} F(a_1,\dots,a_n) = P\{X_1 \leq a_1, \dots, X_n \leq a_n\} F(a1​,…,an​)=P{X1​≤a1​,…,Xn​≤an​}

• 若存在函数 $ f(x_1,\dots,x_n) $，使得：
  KaTeX parse error: Undefined control sequence: \idotsint at position 30: …,X_n)\in C\} = \̲i̲d̲o̲t̲s̲i̲n̲t̲\limits_{(x_i)\…
  则称其为联合密度函数。

• 特别地：
  P{X1∈A1,…,Xn∈An}=∫An⋯∫A1f(x1,…,xn)dx1⋯dxn P\{X_1 \in A_1, \dots, X_n \in A_n\} = \int_{A_n} \cdots \int_{A_1} f(x_1,\dots,x_n) dx_1\cdots dx_n P{X1​∈A1​,…,Xn​∈An​}=∫An​​⋯∫A1​​f(x1​,…,xn​)dx1​⋯dxn​

例 1f：多项分布（Multinomial Distribution）

进行 $ n $ 次独立试验，每次有 $ r $ 种结果，概率分别为 $ p_1,\dots,p_r $，且 $ \sum p_i = 1 $。

令 $ X_i $：第 $ i $ 种结果出现的次数。

则联合分布列为：

P{X1=n1,…,Xr=nr}=n!n1!⋯nr!p1n1⋯prnr,∑ni=n(1.5) P\{X_1=n_1,\dots,X_r=n_r\} = \frac{n!}{n_1!\cdots n_r!} p_1^{n_1} \cdots p_r^{n_r}, \quad \sum n_i = n \tag{1.5} P{X1​=n1​,…,Xr​=nr​}=n1​!⋯nr​!n!​p1n1​​⋯prnr​​,∑ni​=n(1.5)

证明思路：固定结果出现次数，共有 $ \frac{n!}{\prod n_i!} $ 种排列方式，每种概率为 $ \prod p_i^{n_i} $。

当 $ r=2 $ 时，退化为二项分布。

应用举例：掷骰子 9 次，求 1 出现 3 次，2、3 各 2 次，4、5 各 1 次，6 出现 0 次的概率：
$$P=\frac{9!}{3!2!2!1!1!0!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^9=\frac{9!}{3!2!2!}{\left(\frac{1}{6}\right)}^9$$

[!IMPORTANT]

这需要对之前曾经提到过的分组概率进行复习

6.2 独立随机变量

定义

随机变量 $ X $ 和 $ Y $ 独立，当且仅当对任意集合 $ A,B $：

P{X∈A,Y∈B}=P{X∈A}P{Y∈B}(2.1) P\{X \in A, Y \in B\} = P\{X \in A\} P\{Y \in B\} \tag{2.1} P{X∈A,Y∈B}=P{X∈A}P{Y∈B}(2.1)

等价地：

$$F(a,b)=F_X(a)F_Y(b),\forall a,b$$

离散情形下的独立性
$$p(x,y)=p_X(x)p_Y(y),\forall x,y\text{\hspace{1em}(2.2)}$$

连续情形下的独立性
$$f(x,y)=f_X(x)f_Y(y),\forall x,y$$

独立性的等价条

$ X,Y $ 独立 $ \iff $ 联合密度（或分布列）可分解为：

$$f_{X,Y}(x,y)=h(x)g(y)$$

证明（连续情形）：

设 $ f(x,y) = h(x)g(y) $，则：

$$1=\int \int h(x)g(y)dxdy=\left(\int h(x)dx\right)\left(\int g(y)dy\right)=C_1{C}_2$$

令：

• $ f_X(x) = C_1 h(x) $
• $ f_Y(y) = C_2 g(y) $

则 $ f(x,y) = f_X(x) f_Y(y) $，故独立。

例题

例 2a：二项试验的独立性

进行 $ n+m $ 次独立伯努利试验，$ X $：前 $ n $ 次成功次数，$ Y $：后 $ m $ 次成功次数。

由于试验独立，$ X,Y $ 独立。

验证：
$$P(X=x,Y=y)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{x}\right)p^x(1-p{)}^{n-x}(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{y})p^y(1-p{)}^{m-y}=P(X=x)P(Y=y)$$

但 $ X $ 与总成功数 $ Z = X+Y $ 相关。

例 2b：泊松拆分

设进入邮局总人数为参数 $ \lambda $ 的泊松变量。每人是男性概率 $ p $，女性 $ 1-p $，且独立。

令 $ X $：男性人数，$ Y $：女性人数。

结论：$ X \sim \text{Poisson}(\lambda p) $，$ Y \sim \text{Poisson}(\lambda(1-p)) $，且 $ X,Y $ 独立。

证明：

$$\begin{array}{rl}P(X=i,Y=j)& =P(X=i,Y=j\mid X+Y=i+j)P(X+Y=i+j)\\ & =\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+j}{i}\right)p^i(1-p{)}^j\cdot e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^{i+j}}{(i+j)!}\\ & =e^{-\lambda }\frac{(\lambda p{)}^i}{i!}\frac{[\lambda (1-p){]}^j}{j!}\\ & =\left[e^{-\lambda p}\frac{(\lambda p{)}^i}{i!}\right]\left[e^{-\lambda (1-p)}\frac{[\lambda (1-p){]}^j}{j!}\right]\end{array}$$

故 $ P(X=i,Y=j) = P(X=i)P(Y=j) $，独立得证。

例 2c：等待时间问题

两人约定 12:00–13:00 见面，到达时间独立且服从 $ (0,60) $ 上的均匀分布。

求先到者等待超过 10 分钟的概率。

设 $ X,Y \sim U(0,60) $，独立。

所求概率为：

[!NOTE]

观察这两个概率：

• $ P(Y > X + 10) $：女士比男士晚到超过 10 分钟
• $ P(X > Y + 10) $：男士比女士晚到超过 10 分钟

由于：

• $ X $ 和 $ Y $ 都服从相同的分布：$ U(0,60) $
• $ X $ 和 $ Y $ 相互独立
• 两人的行为完全对称（没有谁“优先”）

所以这两个事件的概率是相等的！

$$P(|X-Y|>10)=P(X+10<Y)+P(Y+10<X)=2P(X+10<Y)$$

$$\begin{array}{rl}2P(X+10<Y)& =2{\int }_{10}^{60}{\int }_0^{y-10}{\left(\frac{1}{60}\right)}^{2}dxdy\\ & =\frac{2}{3600}{\int }_{10}^{60}(y-10)dy=\frac{2}{3600}\cdot \frac{(50{)}^2}{2}=\frac{2500}{3600}=\frac{25}{36}\end{array}$$

例 2d：蒲丰投针问题

平行线间距 $ D $，针长 $ L \leq D $。随机投针，求与某线相交的概率。

设：

• $ X $：针中点到最近线的距离，$ X \sim U(0, D/2) $
• $ \theta $：针与垂线夹角，$ \theta \sim U(0, \pi/2) $
• $ X,\theta $ 独立

相交条件：$ X < \frac{L}{2} \cos\theta $

$$\begin{array}{rl}P(\text{相交})& ={\iint }_{x<\frac{L}{2}\cos \theta }{f}_X(x)f_{\theta }(\theta )dxd\theta \\ & =\frac{4}{\pi D}{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^{\frac{L}{2}\cos \theta }dxd\theta =\frac{4}{\pi D}{\int }_0^{\pi /2}\frac{L}{2}\cos \theta d\theta =\frac{2L}{\pi D}\end{array}$$

例 2e：正态分布的特征性质

假设：

1. $ X,Y $ 独立、连续、密度可微；
2. 联合密度 $ f(x,y) = f_X(x)f_Y(y) $ 仅依赖于 $ x^2 + y^2 $

则 $ X,Y $ 为独立同分布正态变量，均值 0

设 $ f_X(x)f_Y(y) = g(x^2 + y^2) $

两边对 $ x $ 求导：

$$f_X^{\prime }(x)f_Y(y)=2x{g}^{\prime }(x^2+y^2)$$

除以原式：

$$\frac{f_X^{\prime }(x)}{f_X(x)}=\frac{2x{g}^{\prime }(x^2+y^2)}{g(x^2+y^2)}\Rightarrow \frac{f_X^{\prime }(x)}{2x{f}_X(x)}=\frac{g^{\prime }(x^2+y^2)}{g(x^2+y^2)}$$

左边仅含 $ x $，右边仅含 $ x^2 + y^2 $，故必为常数 $ c $：

$$\frac{f_X^{\prime }(x)}{x{f}_X(x)}=2c\Rightarrow \frac{d}{dx}\ln f_X(x)=2cx\Rightarrow \ln f_X(x)=a+c{x}^2\Rightarrow f_X(x)=k{e}^{c{x}^2}$$

[!NOTE]

对于密度函数需要满足：

1. 非负性：自动满足，因为指数函数恒正

2. 归一化：必须有
   $${\int }_{-\infty }^{\infty }{f}_X(x)dx=1$$
   如果c > 0，则没法收敛

归一化要求 $ c < 0 $，令 $ c = -1/(2\sigma^2) $，得正态密度。

同理 $ f_Y(y) $ 也为正态，且方差相同。

例 2f：判断独立性

(1) $ f(x,y) = 6e^{-2x}e{-3y},\ x>0,y>0 $

可分解为 $ (6e^{-2x})(e{-3y}) $，故独立。

(2) $ f(x,y) = 24xy I(x,y) $，其中 $ I(x,y)=1 $ 当 $ 0<x<1,0<y<1,x+y<1 $

支持集不是矩形，无法分解，故不独立。

如果联合密度函数的支持集（support）不是矩形区域（即不能写成 $ A \times B $ 的形式），那么 $ X $ 和 $ Y $ 一定不独立。