深入解析快速排序算法：原理、优化与应用

一、算法原理与核心思想

快速排序采用分治策略实现高效排序，其核心操作可分解为三个关键步骤：

1. 基准选择（Pivot Selection）
   选取待排序序列中的特定元素作为分割基准，常见策略包括首元素法、随机选取法和三数取中法。设待排序数组为$arr$，基准值为$pivot$，则满足：
   $$\exists p\in arr,\forall x\in left\_arr\le p\le \forall y\in right\_arr$$

2. 分区操作（Partitioning）
   通过双指针技术将数组划分为两个子区间：

   def partition(arr, low, high):pivot = arr[high]i = low - 1for j in range(low, high):if arr[j] <= pivot:i += 1arr[i], arr[j] = arr[j], arr[i]arr[i+1], arr[high] = arr[high], arr[i+1]return i + 1
   

3. 递归排序（Recursive Sorting）
   对分区后的子数组递归执行相同操作，递归终止条件为：
   $$|arr|\le 1\Rightarrow \text{直接返回}$$

二、时间复杂度分析

通过主定理（Master Theorem）可推导时间复杂度：

1. 最优情况
   每次分区平衡划分时：
   $$T(n)=2T(\frac{n}{2})+$$