分组背包问题Python和C++两个版本讲解

分组背包问题详解（Python实现）

分组背包（Grouped Knapsack）是背包问题的一种变体，其核心特点是 物品被分成若干组，每组内的物品相互冲突，最多只能选择组内的一件物品。

问题描述：

• 背包容量： V
• 物品组数： G
• 每组物品： 第 g 组包含 S_g 件物品。每组物品中的第 i 件有：
  • 体积： v[g][i]
  • 价值： w[g][i]
• 目标： 在不超过背包容量的前提下，从每组中至多选择一件物品，使得装入背包的物品总价值最大。

关键点：

1. 分组结构： 物品天然或逻辑上被划分成组。
2. 组内互斥： 同一组内的物品不能同时被选择。要么不选该组的任何物品，要么只选该组的一件物品。

解决方法（动态规划）：

分组背包通常使用 动态规划 (Dynamic Programming) 解决。状态定义和状态转移方程如下：

1. 状态定义：

   • dp[j]：表示只考虑前 g 组物品（组号从1开始计数），在背包容量恰好为 j 时，所能获得的最大价值。
   • （也可以定义为容量不超过 j 的最大价值，状态转移逻辑类似）

2. 状态转移方程：
   对于当前正在考虑的第 g 组：

   • 首先，不选第 g 组的任何物品：则 dp[j] 保持不变（继承只考虑前 g-1 组时的状态）。
   • 然后，尝试选择第 g 组中的某一件物品 i：前提是背包容量 j 必须能容纳该物品 (j >= v[g][i])。如果选择这件物品，那么前 g-1 组物品占用的容量就是 j - v[g][i]，带来的价值是 dp[j - v[g][i]] + w[g][i]。
   • 我们需要遍历第 g 组的所有物品 i，找出选择该组中哪一件物品（或者不选） 能使得 dp[j] 最大。

   因此，状态转移的核心逻辑是：

   for j from V down to 0: // 遍历所有可能的背包容量 (必须逆序!)dp[j] = dp[j]; // 不选第g组任何物品 (保持原值)for each item i in group g: // 遍历第g组的所有物品if j >= v[g][i]:dp[j] = max(dp[j], dp[j - v[g][i]] + w[g][i]); // 尝试选第g组的物品i
   

   重要： 容量 j 的循环必须是逆序（从 V 到 0）。这与01背包的逆序原理相同：

   • 它确保在计算 dp[j] 时，用于参考的 dp[j - v[g][i]] 是基于前 g-1 组物品的状态，而不是已经被当前组 g 更新过的状态。
   • 这样避免了同一组内的物品被错误地多次选择（因为组内物品是互斥的）。

3. 初始化：

   • dp[0] = 0：容量为0时最大价值为0。
   • 对于 j > 0，dp[j] 通常初始化为一个非常小的负数（-∞）或者 0，具体取决于状态定义：
     • 如果状态定义为“容量恰好为 j”，则 dp[j] = -∞ (j > 0)，表示初始状态不可达。
     • 如果状态定义为“容量不超过 j”，则 dp[j] = 0 (j >= 0) 通常是合理的。

4. 最终答案：

   • 遍历所有容量 j (0 <= j <= V)，找出 dp[j] 的最大值（如果状态定义是“恰好为 j”）。
   • 或者直接取 dp[V]（如果状态定义是“不超过 j”，且初始化合理）。

伪代码实现：

// 输入：背包容量 V, 组数 G, 每组物品列表 groups[1..G]
// groups[g] 是一个列表，其中每个元素是物品 (v, w)
// 定义 dp 数组：dp[0..V]
// 初始化 (以"不超过j"为例)
for j from 0