深入理解二叉搜索树：原理到实践

1.二叉搜索树的概念

⼆叉搜索树⼜称⼆叉排序树，它或者是⼀棵空树，或者是具有以下性质的⼆叉树

• 若它的左树不为空，则左子树上所有节点的值都小于或等于根节点的值。
• 若它的右树不为空，则右子树上所有节点的值都大于或等于根节点的值。
• 它的左右子树也分别为二叉搜索树。
• ⼆叉搜索树中可以⽀持插⼊相等的值，也可以不⽀持插⼊相等的值map/set/multimap/multiset系列容器底层就是⼆叉搜索树，其中map/set不⽀持插⼊相等 值，multimap/multiset⽀持插⼊相等值。

 

2.二叉搜索树的性能分析

最优情况下，二叉搜索树为完全⼆叉树(或者接近完全⼆叉树)，其⾼度为：Olog2 N

 最差情况下，二叉搜索树退化为单⽀树(或者类似单⽀)，其⾼度为：N 

所以综合⽽⾔二叉搜索树增删查改时间复杂度为：O(N）

⼆分查找也可以实现 O(logN) 2 级别的查找效率，但是⼆分查找有两⼤缺陷：

1. 需要存储在⽀持下标随机访问的结构中，并且有序。

2. 插⼊和删除数据效率很低，因为存储在下标随机访问的结构中，插⼊和删除数据⼀般需要挪动数 据。

3. 二叉搜索树的插⼊

插⼊的具体过程如下：

1. 树为空，则直接新增结点，赋值给root指针

2. 树不空，按⼆叉搜索树性质，插⼊值⽐当前结点⼤往右⾛，插⼊值⽐当前结点⼩往左⾛，找到空位 置，插⼊新结点。

3. 如果⽀持插⼊相等的值，插⼊值跟当前结点相等的值可以往右⾛，也可以往左⾛，找到空位置，插 ⼊新结点。（要注意的是要保持逻辑⼀致性，插⼊相等的值不要⼀会往右⾛，⼀会往左⾛）

 

 4. ⼆叉搜索树的查找

1.从根开始⽐较，查找x，x⽐根的值⼤则往右边⾛查找，x⽐根值⼩则往左边⾛查找。

2. 最多查找⾼度次，⾛到到空，还没找到，这个值不存在。

3. 如果不⽀持插⼊相等的值，找到x即可返回。

4. 如果⽀持插⼊相等的值，意味着有多个x存在，⼀般要求查找中序的第⼀个x。如下图，查找3，要 找到1的右孩⼦的那个3返回

5. ⼆叉搜索树的删除

⾸先查找元素是否在⼆叉搜索树中，如果不存在，则返回false。

如果查找元素存在则分以下四种情况分别处理：（假设要删除的结点为N）

1. 要删除结点N左右孩⼦均为空 2. 要删除的结点N左孩⼦位空，右孩⼦结点不为空

3. 要删除的结点N右孩⼦位空，左孩⼦结点不为空

 4. 要删除的结点N左右孩⼦结点均不为空

 对应以上四种情况的解决⽅案：

1. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向空，直接删除N结点（情况1可以当成2或者3处理，效果是⼀样 的）

2. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的右孩⼦，直接删除N结点

 3. 把N结点的⽗亲对应孩⼦指针指向N的左孩⼦，直接删除N结点

4. ⽆法直接删除N结点，因为N的两个孩⼦⽆处安放，只能⽤替换法删除。找N左⼦树的值最⼤结点 R(最右结点)或者N右⼦树的值最⼩结点R(最左结点)替代N，因为这两个结点中任意⼀个，放到N的 位置，都满⾜⼆叉搜索树的规则。替代N的意思就是N和R的两个结点的值交换，转⽽变成删除R结 点，R结点符合情况2或情况3，可以直接删除。

6. ⼆叉搜索树的实现代码

#include<iostream>
using namespace std;
template<class K>
struct BSTNode
{K _key;BSTNode<K>* _left;BSTNode<K>* _right;BSTNode(const K& key):_key(key), _left(nullptr), _right(nullptr){}
};
// Binary Search Tree
template<class K>
class BSTree
{typedef BSTNode<K> Node;
public:bool Insert(const K& key){if (_root == nullptr){_root = new Node(key);return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{return false;}}cur = new Node(key);if (parent->_key < key){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}return true;}bool Find(const K& key){Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){cur = cur->_left;}else{return true;}}return false;}bool Erase(const K& key){Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_key < key){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_key > key){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 0-1个孩⼦的情况 // 删除情况1 2 3均可以直接删除，改变⽗亲对应孩⼦指针指向即可 if (cur->_left == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_right;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_right;elseparent->_right = cur->_right;}delete cur;return true;}else if (cur->_right == nullptr){if (parent == nullptr){_root = cur->_left;}else{if (parent->_left == cur)parent->_left = cur->_left;elseparent->_right = cur->_left;}delete cur;return true;}else{// 2个孩⼦的情况 // 删除情况4，替换法删除 // 假设这⾥我们取右⼦树的最⼩结点作为替代结点去删除 // 这⾥尤其要注意右⼦树的根就是最⼩情况的情况的处理，对应课件图中删除8的情况// ⼀定要把cur给rightMinP，否会报错。 Node* rightMinP = cur;Node* rightMin = cur->_right;while (rightMin->_left){rightMinP = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}cur->_key = rightMin->_key;if (rightMinP->_left == rightMin)rightMinP->_left = rightMin->_right;elserightMinP->_right = rightMin->_right;delete rightMin;return true;}}}return false;}void InOrder(){_InOrder(_root);cout << endl;}
private:void _InOrder(Node* root){if (root == nullptr){return;}_InOrder(root->_left);cout << root->_key << " ";_InOrder(root->_right);}
private:Node* _root = nullptr;
};
int main() {BSTree<int> tree;// 插入操作tree.Insert(5);tree.Insert(3);tree.Insert(7);tree.Insert(2);tree.Insert(4);// 中序遍历（输出应为升序：2 3 4 5 7）tree.InOrder();// 查找操作cout << "Find 3: " << (tree.Find(3) ? "Yes" : "No") << endl;cout << "Find 6: " << (tree.Find(6) ? "Yes" : "No") << endl;// 删除操作tree.Erase(3);tree.InOrder(); // 输出应为：2 4 5 7return 0;
}

7. ⼆叉搜索树key和key/value使⽤场景

7.1 key搜索场景：

只有key作为关键码，结构中只需要存储key即可，关键码即为需要搜索到的值，搜索场景只需要判断 key在不在。key的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持增删查，但是不⽀持修改，修改key破坏搜索树结 构了。

场景1：⼩区⽆⼈值守⻋库，⼩区⻋库买了⻋位的业主⻋才能进⼩区，那么物业会把买了⻋位的业主的 ⻋牌号录⼊后台系统，⻋辆进⼊时扫描⻋牌在不在系统中，在则抬杆，不在则提⽰⾮本⼩区⻋辆，⽆法进⼊。 

7.2 key/value搜索场景：

每⼀个关键码key，都有与之对应的值value，value可以任意类型对象。树的结构中(结点)除了需要存 储key还要存储对应的value，增/删/查还是以key为关键字⾛⼆叉搜索树的规则进⾏⽐较，可以快速查找到key对应的value。key/value的搜索场景实现的⼆叉树搜索树⽀持修改，但是不⽀持修改key，修改key破坏搜索树性质了，可以修改value。

场景1：商场⽆⼈值守⻋库，⼊⼝进场时扫描⻋牌，记录⻋牌和⼊场时间，出⼝离场时，扫描⻋牌，查 找⼊场时间，⽤当前时间-⼊场时间计算出停⻋时⻓，计算出停⻋费⽤，缴费后抬杆，⻋辆离场。

#include <iostream>
#include <string>
using namespace std;// 二叉搜索树节点定义（含键值对和父指针）
template <class K, class V>
struct BSTNode {K _key;                // 键V _value;              // 值BSTNode<K, V>* _left;  // 左子节点BSTNode<K, V>* _right; // 右子节点BSTNode<K, V>* _parent; // 父节点// 构造函数BSTNode(const K& key, const V& value, BSTNode* parent = nullptr): _key(key), _value(value), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(parent) {}
};// 二叉搜索树类模板
template <class K, class V>
class BSTree {
private:typedef BSTNode<K, V> Node; // 节点类型别名Node* _root;                // 根节点指针// 递归销毁树void _Destroy(Node* root) {if (root == nullptr) return;_Destroy(root->_left);_Destroy(root->_right);delete root;}// 递归拷贝树Node* _Copy(Node* root) {if (root == nullptr) return nullptr;Node* newNode = new Node(root->_key, root->_value);newNode->_left = _Copy(root->_left);newNode->_right = _Copy(root->_right);if (newNode->_left) newNode->_left->_parent = newNode;if (newNode->_right) newNode->_right->_parent = newNode;return newNode;}// 中序遍历辅助函数void _InOrder(Node* root) const {if (root == nullptr) return;_InOrder(root->_left);cout << root->_key << ": " << root->_value << endl;_InOrder(root->_right);}public:// 默认构造函数BSTree() : _root(nullptr) {}// 拷贝构造函数BSTree(const BSTree& other) : _root(nullptr) {_root = _Copy(other._root);}// 赋值运算符BSTree& operator=(BSTree other) {swap(_root, other._root);return *this;}// 析构函数~BSTree() {_Destroy(_root);_root = nullptr;}// 插入键值对（不允许重复键）bool Insert(const K& key, const V& value) {Node* newNode = new Node(key, value);if (_root == nullptr) {_root = newNode;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_key < key) {parent = cur;cur = cur->_right;} else if (cur->_key > key) {parent = cur;cur = cur->_left;} else {delete newNode; // 重复键，释放内存return false;}}newNode->_parent = parent;if (parent->_key < key) {parent->_right = newNode;} else {parent->_left = newNode;}return true;}// 查找键对应的节点（返回值指针，失败返回nullptr）V* Find(const K& key) {Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_key < key) {cur = cur->_right;} else if (cur->_key > key) {cur = cur->_left;} else {return &cur->_value; // 返回值的指针}}return nullptr;}// 查找键对应的节点（const版本）const V* Find(const K& key) const {Node* cur = _root;while (cur) {if (cur->_key < key) {cur = cur->_right;} else if (cur->_key > key) {cur = cur->_left;} else {return &cur->_value;}}return nullptr;}// 删除指定键的节点bool Erase(const K& key) {Node* cur = _root;Node* parent = nullptr;// 查找节点while (cur && cur->_key != key) {parent = cur;if (cur->_key < key) {cur = cur->_right;} else {cur = cur->_left;}}if (cur == nullptr) return false; // 未找到// 删除节点处理if (cur->_left == nullptr) { // 左子树为空Node* child = cur->_right;if (parent == nullptr) { // 删除根节点_root = child;} else {if (parent->_left == cur) {parent->_left = child;} else {parent->_right = child;}}if (child) child->_parent = parent;delete cur;} else if (cur->_right == nullptr) { // 右子树为空Node* child = cur->_left;if (parent == nullptr) {_root = child;} else {if (parent->_left == cur) {parent->_left = child;} else {parent->_right = child;}}if (child) child->_parent = parent;delete cur;} else { // 左右子树都存在，找右子树最小节点替换Node* rightMin = cur->_right;Node* rightMinParent = cur;while (rightMin->_left) {rightMinParent = rightMin;rightMin = rightMin->_left;}// 替换值cur->_key = rightMin->_key;cur->_value = rightMin->_value;// 删除右子树最小节点if (rightMinParent == cur) {rightMinParent->_right = rightMin->_right;} else {rightMinParent->_left = rightMin->_right;}if (rightMin->_right) {rightMin->_right->_parent = rightMinParent;}delete rightMin;}return true;}// 中序遍历（升序输出键值对）void InOrder() const {_InOrder(_root);cout << endl;}
};// 测试用例
int main() {// 测试1：单词词典BSTree<string, string> dict;dict.Insert("apple", "苹果");dict.Insert("banana", "香蕉");dict.Insert("grape", "葡萄");dict.Insert("mango", "芒果");cout << "单词词典中序遍历：" << endl;dict.InOrder();// 查找单词string word = "banana";auto value = dict.Find(word);if (value) {cout << "单词 " << word << " 的翻译是：" << *value << endl;} else {cout << "未找到单词 " << word << endl;}// 删除单词dict.Erase("grape");cout << "删除grape后的词典：" << endl;dict.InOrder();// 测试2：水果计数string fruits[] = {"苹果", "西瓜", "苹果", "西瓜", "苹果", "苹果", "西瓜", "苹果", "香蕉", "苹果", "香蕉"};BSTree<string, int> fruitCount;for (const auto& fruit : fruits) {auto cnt = fruitCount.Find(fruit);if (cnt) {(*cnt)++; // 计数加一} else {fruitCount.Insert(fruit, 1); // 首次插入}}cout << "水果计数结果：" << endl;fruitCount.InOrder();// 测试拷贝构造和赋值运算符BSTree<string, int> copyTree = fruitCount;cout << "拷贝构造后的计数：" << endl;copyTree.InOrder();BSTree<string, int> assignTree;assignTree = copyTree;cout << "赋值后的计数：" << endl;assignTree.InOrder();return 0;
}