数列运算中的常见错因分析

前情概要

现在的学生在数列学习中常会犯错，有些错误自己还不太清楚原因，以下举例说明。

问题列举

例1、【2019届宝鸡市高三理科数学质检Ⅱ第17题】设数列 { a n } \{a_n\} {an​}满足$a_1=2$，$a_{n+1}-a_n=2^n$；

(1).求数列 { a n } \{a_n\} {an​}的通项公式。

错解列举 ：由于$a_1=2$，令$n=1$，由$a_{n+1}-a_n=2^n$得到$a_2-a_1=2$，

即$a_2=4=2^2$；

同理$a_3=a_2+2^2=8=2^3$，

$a_4=a_3+2^3=16=2^4$，

$\cdots$，

综上所述，$a_n=2^n$。

错因分析：这种解法为不完全归纳法，故算理错误。

【正解】：由于$a_{n+1}-a_n=2^n$；

当$n\ge 2$时，$$a_n-a_{n-1}=2^{n-1}，$$

$$a_{n-1}-a_{n-2}=2^{n-2}，$$

$$\cdots ，\cdots ，$$

$$a_3-a_2=2^2，$$

$$a_2-a_1=2^1，$$

以上$n-1$个式子累加，得到

$a_n-a_1=2^1+2^2+\cdots +2^n=\frac{2\cdot (2^{n-1}-1)}{2-1}=2^n-2$

即$a_n-2=2^n-2$，故$a_n=2^n$，

当$n=1$时，$a_1=2$满足上式，故$a_n=2^n(n\in N^{\ast })$；

(2).证明：数列 { a n } \{a_n\} {an​}为等比数列。

分析：由于$a_{n+1}-a_n=2^n$；

当$n\ge 2$时，$$a_n-a_{n-1}=2^{n-1}，$$

$$a_{n-1}-a_{n-2}=2^{n-2}，$$

$$\cdots ，\cdots ，$$

$$a_3-a_2=2^2，$$

a 2 − a 1 = 2 1 ， a_2-a_1=2^1，