1.1随机试验与随机事件

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随机试验

定义

(1)可重复性   (2)多结果性   (3)不确定性
满足上诉三个特点的试验成为随机试验（简称试验），用E表示

样本空间

将试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记作Ω（或S）。样本空间的元素（即E的每个结果），称为样本点，记作ω

例 投骰子：Ω={1，2，3，4，5，6}

例： 同时扔2个硬币，A:正，反各一枚   B:至少一个正

Ω={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}   有限集
A={(正，反)，(反，正)}  B={(正，正)，(正，反)，(反，正)}

随机事件

事件与集合

1. 必然事件  Ω
2. 基本事件  样本点，单点集
3. 随机事件 Ω的子集
4. 不可能事件 φ

事件的运算

1. 包含：A ⊂ B   A发生必导致B发生

2. 并（和）：A∪B  A,B至少有一个发生

3. 交（积）：A ∩ B   AB   ;A,B事件同时发生
   AB⊂A    AA=A    Aφ=φ    AΩ=Ω
   A ∩ B ⊂ A ⊂ A∪B ⊂Ω

4. 事件的差：A-B  A发生而B不发生
   A-B=A-AB=A$\overline{B}$    ($\overline{B}$表示的是B的对立事件)

5. 互不相容(互斥)：AB=φ   A,B不能同时发生
   A₁， A₂，…， A_n两两互不相容， A_i A_j=φ

6. 对立事件：A∪B=Ω且A ∩ B=φ
   A的对立事件：$\overline{A}$      $\overline{A}$=Ω-A     A$\overline{A}$=φ    

   (1) A,B对立 =>A,B互不相容；反之不然
   (2) 对立是两个事件；互不相容是多个
   (3) Ω={ ω₁， ω₂}
   Ω={ ω₁， ω₂，…，ω_n}  n>2 互不相容
   (4) A,B互不相容 ≠>$\overline{A}$与$\overline{B}$相容或不相容
   A,B对立 =>$\overline{A}$与$\overline{B}$对立

7. 完备事件组： A₁，…， A_n
   A_i ∩ A_j = φ     ∑ A_i=Ω

事件的运算律

1. 交换律：A∪B=B∪A    A ∩ B=B∩ A
2. 结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)    (A ∩ B) ∩ C=A ∩ (B ∩ C )
3. 分配率：(A∪B) ∩ C =(A ∩ C)∪(B ∩ C)    (A∩B) ∪ C =(A∪C) ∩ (B∪C)
4. 对偶律：$\overline{A\cup B}$ = $\overline{A}$∩$\overline{B}$      $\overline{A\cap B}$ = $\overline{A}$∪$\overline{B}$

例：
设A,B,C为三个随机事件，请表述下列事件的含义

1. ABC ：A,B,C同时发生
2. A∪B∪C ：A,B,C至少一个发生
3. $\overline{A}$ $\overline{B}$ $\overline{C}$：A,B,C都不发生
4. $\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{C}$：A,B,C至少有一个不发生
5. AB+BC+AC：A,B,C至少2个发生
6. AB$\overline{C}$+ A$\overline{B}$C+$\overline{A}$BC：A,B,C恰好有2个发生

观看笔记来源：概率论与数理统计-宋浩老师