基础电学笔记

参考:【高中物理必修三】电场系统课合集|最细、最系统、最通透|电场只看这个就够了

电荷

如果一个物体能吸引轻小物体，就说它带电荷

• 经过实验，一共存在 2 种电荷
• 丝绸摩擦过的玻璃棒带正电荷
• 毛皮摩擦过的橡胶棒带负电荷
• 同种电荷相斥，异种电荷相吸

实验可知：使用上文描述的玻璃棒互相靠近，则会互相排斥，而使用玻璃棒和橡胶棒则会相互吸引。

电荷可以描述带电的粒子本身，例如质子、电子、离子等。例如：一个带正电荷的质子。存在一电荷 $a$；也可以用来描述带电体的电荷量多少，例如：玻璃棒带正电荷。

电荷量

定义

描述物体带电量多少的物理量，使用 $Q$ 或者 $q$ 来表示，示例：

• 一个带电量为 $Q$ 的电荷
• A 的电荷量为 $Q_1$，B 的电荷量为 $Q_2$

电荷量的单位

• 库仑 ($C$)：国际单位，$1A$ 电流传输 $1S$ 的电荷量为 $1C$；（注意这个单位很大）
• 元电荷 ($e$)：
  • 最小的带电粒子的电荷量，即一个电子/质子的带电量；
  • 一个质子带 $+1e$ 的电荷量，一个电子带 $-1e$ 的电荷量；
  • 换算关系：$1e=1.6\times 10^{-19}C$；
  • 电荷量不能无限小，应为 $e$ 的整数倍；
  • 元电荷不是电荷，元电荷是单位，描述电荷量的单位

电荷量是标量

正负号只表示是带正电荷还是负电荷；故 $-3C>2C$。

净电荷量

宏观物体内部有大量正负电荷，当正电荷量大于负电荷量时，则整体带正电荷。
电中和：物体内部的异种电荷相互中和，当恰好相等时，则为物体不带电，也称电中性（不意味着物体内部不带电荷，而是互相中和抵消）。物体内部异种电荷相互中和抵消后（即物体内部的电荷量带符号相加）的电荷量称为 净电荷量；

• 如净电荷量为正，则物体带正电
• 如净电荷量为负，则物体带负电
• 如净电荷量为 0，则物体不带电（电中性）

物体带电量，一般情况下都描述的是净电荷量

电荷守恒定律

对于一个孤立系统内的 电荷量 不会改变；

注意是电荷量不变守恒，并不是电荷（粒子）守恒。例如：在 1 个电子和一个正电子组成的系统中，电荷数量为 2，净电荷量为 $1e+(-1e)=0$，当电子和正电子产生湮没时，产生 2 个或多个不带电的光子，净电荷量依旧为 0。

电荷转移

电荷之间具有相互作用力,同种电荷相吸,异种电荷相斥;

电荷可以在物体内部转移,也可以在物体之间转移;

一般来说电荷转移,均为电子的转移导致的,原子核(质子)一般不会转移.例如丝绸摩擦玻璃棒,玻璃棒中的电子转移到丝绸上. 由于电子带负电,故丝绸获得了过量的电子,带负电荷;玻璃棒失去电子,带负电荷;

起电

起电：使原本不带电的物体带电的过程称为起电；也就是电荷发生了转移,即电荷重新分布,可以是物体间的转移(摩擦,接触起电),也可以是物体内部的转移(感应起电).

起电的 3 种方式：

• 摩擦起电
• 接触起电
• 感应起电

起电一般是电子

摩擦起电

• 原因: 不同原子对电子的束缚能力不同
• 本质: 电子在物质间发生转移,使电子转移的能量来源于摩擦;
• 系统电荷保持不变,两者带有等量异种电荷

接触起电

带电的物体和不带电的物体,接触之后,使不带电的物体带电了;

例如:两个相同金属球A和B接触.两物体净电荷量情况如下表:当两球接触时,电子转移,使之电荷量平分,带等量同种电荷;

接触前	接触后
$Q_A=4C;Q_b=0C$	$Q_A=2C;Q_b=2C$
$Q_A=4C;Q_b=6C$	$Q_A=5C;Q_b=5C$
$Q_A=4C;Q_b=-2C$	$Q_A=1C;Q_b=1C$

• 原因: 接触导致电子在物体间发生转移，电子转移的能量来源于接触过程中物体间的相互作用（如电势差或材料特性差异）。
• 本质: 电子在接触的物体间重新分布，直到两物体达到电势平衡；若物体材质、形状完全相同，则电荷均分；若不同，则可能形成等量异种电荷。
• 系统电荷保持不变: 总电荷守恒，但电荷在物体间重新分配；若两物体完全相同且初始均不带电，接触后电荷为零；若初始带电，接触后电荷均分（同种电荷）或中和后均分（异种电荷）。

感应起电

假设一个带正电的物体靠近不带电的金属球，金属球中的自由电子被吸引到靠近带电体的一端（近端），导致近端带负电，远端带正电(近异远同)。

原因:电荷间相互作用力,使电子在物体内发生转移;电子向导体一端移动;

验电器

验电器本质上就是一个一端为金属球,另一端为两个平行(不带电情况)金属箔的工具.

验电器的金属箔与检验物体的电性一致

验电器可以使用接触/感应两种方式验电

库伦定律

描述电荷间相互作用力

力的大小

真空中与两个静止点电荷的电荷量作用力的大小与电荷量的乘积成正比,与距离的平方成反比,力的方向在两点之间的连线上;即

$\frac{q_1{q}_2}{r^2}$ 此时的单位为$C^2/m^2$,力的国际单位为$N$还需要乘上一个常数系数即:库仑常数$k=9.0\times 10^9(N{\dot{C}}^2)$

故库伦定律公式描述为

$$\begin{array}{c}F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}\end{array}$$

库仑力=电场力=静电力

力的方向

注意计算力的大小时$q_1,q_2$为标量,不要带符号.

力是一个矢量,具有大小和方向. 电荷的符号用来计算方向,同种电荷相互吸引(方向指向两点之间的连线上的中心);异种电荷相互排斥(方向指向两点之间的连线上的中心的反方向);

距离计算

对于宏观物体,计算库仑力时的距离,需要分情况讨论.

由于静电感应,即导体内部的电荷会受到外部电场的影响重新分布(参考感应起电);电子会向一端移动,导致电荷的中心不在物体的中心;

• 同种电荷,电荷中心靠近远端:

  • 均为正电荷,电子数量均小于质子数量,电子移动到近端,质子不变,则近端相对平衡,远端近似为正电性; + + > (+↑ -) (- +↑),正电荷比负电荷多,所以电荷中心靠远端.

  • 均为负电荷,电子数量均大于质子数量,电子移动到远端,质子不变,则近端相对平衡,远端近似为负电性; - - > (-↑ +) (+ -↑),负电荷比正电荷多,所以电荷中心靠远端.

• 异种电荷:带负电的电子移动向近端,带正电的电子移动向远端; 远端电荷相对平衡,故电荷中心靠近近端.- + > (+ -↑)(+↑ -)

例:存在2个质量为$M$,质量分布均匀的金属小球,均带有同种电荷$Q$,半径为$R$,两球球心距离$$d=2R$,则:

$$\begin{array}{rl}{F}_{库仑力}& <\frac{k{Q}^2}{4R}\\ F_{万有引力}& =\frac{G{M}^2}{4R}\end{array}$$

点电荷

若物体距离相对物体自身大得多,以致带电体的形状,大小,电荷分布情况,对库仑力的影响可以忽略不计时. 则物体可称之为点电荷,为理想模型;即 带电的质点

点电荷是概念模型,取决于实际问题,实际情形;宏观物体和微观粒子均可以被认为是一个点电荷;同一物体在不同的情况下,是否可以认为是点电荷,取决于相对于物体本身的距离,在特定问题上的影响是否可被忽略;

适用范围

仅适用于 静止 真空中 点电荷 计算库仑力. 但实际情况,可以近似计算,运动中的电荷需要用电磁力计算,均一介质中不会影响,点电荷如果不是差距过小,也可以近似计算.

例题

例1: 如2个点电荷距离无限近,则库仑力无限大吗?

解:否,当距离靠近时,则不能理解为点电荷,故而不能使用库仑定律.

例2:适用库伦定律的2个点电荷,当其中一个电荷量增加了$\frac{1}{2}$时,要使库仑力保持不变,则另一电荷应如何变化?

解:

$$\begin{array}{c}已知:F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}\\ 令q_1\to \frac{3}{2}{q}_1,设q_2的变化为x,则\\ k\frac{q_1{q}_2}{r^2}=k\frac{\frac{3}{2}{q}_{1}x{q}_2}{r^2}\\ x=\frac{2}{3}\\ 即另一电荷电荷量变化至原来的\frac{2}{3}\end{array}$$

例3:适用库伦定律的2个点电荷,$Q_1=-3C,Q_2=+1C$,固定在距离为$r$的两处,此时库仑力为$F$,接触后移至距离$2r$处,此时库仑力为多少?
解:

$$\begin{array}{c}F=k\frac{3\times 1}{r^2}=\frac{3}{r^2}\\ 接触后Q_1=-1C,Q_2=-1C\\ F^{\prime }=k\frac{1\times 1}{(2r{)}^2}=\frac{1}{4r^2}\\ F=\frac{3}{r^2}=\frac{12}{4r^2}\\ F^{\prime }=\frac{1}{12}F\end{array}$$

例4: 固定带$q_a$正电荷小球$A$,与上方使用细线悬挂,带$q_b$正电荷,质量为$m$的小球$B$在水平位置上平行,受库伦力影响,$B$向远端在垂直方向上偏移了$\theta$度,$A,B$小球适用库伦定律,则两球距离为多少?

解:

$$\begin{array}{rl}{\vec{F}}_{\text{拉力}}& ={\vec{F}}_{\text{重力}}+{\vec{F}}_{\text{库仑力}}\\ \frac{{\vec{F}}_{\text{库仑力}}}{{\vec{F}}_{\text{重力}}}& =tan\theta \\ {\vec{F}}_{\text{库仑力}}& =tan\theta \cdot {\vec{F}}_{\text{重力}}\\ \frac{k{q}_1{q}_2}{r^2}& =tan\theta \cdot mg\\ r& =\sqrt{\frac{k{q}_1{q}_2}{tan\theta \cdot mg}}\end{array}$$

电场和电场强度

电场

力是物体对物体的作用,摩擦力,推力,拉力等都需要接触才能产生力;而库仑力,重力则没有接触就产生了力,需要依靠某种媒介来传导,就像落入水中的石头导致浮漂的移动是依靠水一样.而使电荷发生移动的媒介就是电场;

电场是客观存在的,但不是分子或者原子等物质构成的,具有力和能量的客观属性.

• 力: 可以对放入其中的电荷施加力的作用

• 能量: 当电荷在电场中移动时，电场力对电荷做功

以下是几个要点:

• 电场由电荷建立,建立电场的电荷就称之为场源

• 电场可以在真空中存在,无需介质传播

• 场源电荷通过电场对其他电荷传递力的作用,而不是直接作用

• 电场不会对场源施加电场力

• 电场实际可以理解为一个空间实体,描述电场,需要多个物理量来描述

当我需要描述电场如何对放入其中的电荷施加力的作用时,就可以使用电场强度(Electric field intensity) 来描述;

电场强度

电场强度(Electric field intensity) 使用$E$来表示;

使用一电荷(称为试探电荷),电荷量为$q$,将其放入电场$E$中,计算其受到的力$F$(注意是矢量,含大小与方向),即可描述电场的强度;

电场强度与试探电荷无关,电场强度是放入电场中某点的电荷所受静电力F跟它的电荷量比值,适用于一切电场;

故电场强度定义为（经验规律）

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$$

注意:$E$可以由$F,q$计算得到,但是与$F$和$q$均无关,即与试探电荷无关

规定试探电荷$q=+1C$时,电场强度数值上就等于该电荷所受的力：

$$\vec{E}=\vec{F}(单位：N/C)$$

这样可以将电场本身的性质与试探电荷大小分离，使得电场强度成为一个只依赖于场源电荷分布和空间位置的物理量。

例:空间中某点电场强度$E$为$10N/C$,即一个$1C$正电荷在此点收到一个$10N$的力,方向和$E$一致;一个$15C$的负电荷在此点收到一个$150N$的力,方向和E方向相反;

例2:电荷量为$2\times 10^{-6}C$的正电荷放入电场中的A点,受到方向向右的作用力$4\times 10^{-4}N$,则A点的场强为$\frac{4\times 10^{-4}N}{2\times 10^{-6}C}=200N/C$,方向向右;重新放置另一电荷于A处,受到向左作用力$2\times 10^{-4}N$,则电性为负,电荷量为:$\frac{2\times 10^{-4}N}{200N/C}=10^{-6}C$

推导公式

对于真空中静止点电荷产生的电场

场源电荷电荷量记为$q$

试探电荷量记为$q_0$

$\hat{r}$是方向的单位矢量

$$\begin{array}{rl}\vec{E}& =\frac{\vec{F}}{q_0}\\ & =\frac{k\frac{q{q}_0}{r^2}}{q_0}\hat{r}\\ & =\frac{kq}{r^2}\hat{r}\end{array}$$