信号与系统05-复频域分析（拉普拉斯变换与Z变换）

第5课：复频域分析（拉普拉斯变换与Z变换）

课程目标

• 理解复频域分析的核心思想：通过拉普拉斯变换和Z变换将时域问题转化为代数问题
• 掌握连续系统（拉普拉斯变换）和离散系统（Z变换）的复频域建模方法
• 理解系统稳定性与极点位置的关系
• 结合人工智能中的滤波器设计、控制系统优化等实际应用

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1. 复频域分析的基本概念

1.1 什么是复频域？

• 复频域是将信号和系统从时域映射到复平面上的分析方法
• 核心思想：将微分/差分方程转化为代数方程
• 适用于线性时不变系统（LTI）的分析

1.2 拉普拉斯变换（连续系统）

• 定义：
  F ( s ) = L { f ( t ) } = ∫ 0 ∞ f ( t ) e − s t d t F(s) = \mathcal{L}\{f(t)\} = \int_{0}^{\infty} f(t)e^{-st} dt F(s)=L{f(t)}=∫0∞​f(t)e−stdt
  其中 $$s=\sigma +j\omega$$ 是复频率变量

• 逆变换：
  f ( t ) = L − 1 { F ( s ) } = 1 2 π j ∫ c − j ∞ c + j ∞ F ( s ) e s t d s f(t) = \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\} = \frac{1}{2\pi j} \int_{c-j\infty}^{c+j\infty} F(s)e^{st} ds f(t)=L−1{F(s)}=2πj1​∫c−j∞c+j∞​F(s)estds

• 收敛域：积分收敛的 s 的区域

1.3 Z变换（离散系统）

• 定义：
  X ( z ) = Z { x [ n ] } = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] z − n X(z) = \mathcal{Z}\{x[n]\} = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n} X(z)=Z{x[n]}=n=−∞∑∞​x[n]z−n
  其中 $$z=r{e}^{j\omega }$$ 是复变量

• 单边Z变换（常用于系统分析）：
  $$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }x[n]z^{-n}$$

• 收敛域：使级数收敛的 z 的区域

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2. 拉普拉斯变换与系统分析

2.1 微分方程的复频域解法

• 步骤：

  1. 对微分方程两边取拉普拉斯变换
  2. 转化为代数方程
  3. 求解代数方程得到响应的象函数
  4. 取拉普拉斯反变换得到时域解

• 示例：
  已知微分方程：
  $$\frac{d^{2}y(t)}{d{t}^2}+3\frac{dy(t)}{dt}+2y(t)=x(t)$$
  初始条件 $ y(0^-) = 1, y’(0^-) = 0 $，输入 $ x(t) = e^{-t}u(t) $

  拉普拉斯变换：
  $$s^{2}Y(s)-sy(0^{-})-y^{\prime }(0^{-})+3[sY(s)-y(0^{-})]+2Y(s)=\frac{1}{s+1}$$
  代入初始条件并整理：
  $$Y(s)=\frac{s+4}{(s+1{)}^2(s+2)}$$
  部分分式展开：
  $$Y(s)=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{(s+1{)}^2}+\frac{C}{s+2}$$
  反变换得到时域解。

2.2 传递函数与系统特性

• 传递函数定义（零初始条件）：
  $$H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}$$

• 系统稳定性：

  • 极点全部位于左半平面（Re(s) < 0）
  • 零状态响应收敛

• 极零图：

  • 极点（分母根）决定系统稳定性
  • 零点（分子根）影响频率响应形状

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3. Z变换与离散系统分析

3.1 差分方程的复频域解法

• 步骤：

  1. 对差分方程两边取Z变换
  2. 转化为代数方程
  3. 求解代数方程得到响应的象函数
  4. 取Z反变换得到时域解

• 示例：
  差分方程：
  $$y[n]-0.5y[n-1]=x[n]$$
  初始条件 $$y[-1]=1$$，输入 $$x[n]=u[n]$$

  Z变换：
  $$Y(z)-0.5z^{-1}Y(z)+0.5y[-1]=X(z)$$
  代入初始条件并整理：
  $$Y(z)=\frac{X(z)+0.5}{1-0.5z^{-1}}$$
  反变换得到时域解。

3.2 离散系统的传递函数

• 传递函数定义：
  $$H(z)=\frac{Y(z)}{X(z)}$$

• 系统稳定性：

  • 极点全部位于单位圆内（|z| < 1）
  • 零状态响应收敛

• 极零图：

  • 极点（分母根）决定系统稳定性
  • 零点（分子根）影响频率响应形状

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4. 复频域分析与人工智能的结合

4.1 滤波器设计中的复频域分析

• 传统滤波器设计：

  • 巴特沃斯滤波器：极点均匀分布在左半平面
  • 切比雪夫滤波器：极点分布在椭圆上

• AI驱动的滤波器优化：

  • 使用遗传算法优化极点位置
  • 神经网络自适应调整滤波器参数

from scipy.signal import lti
import numpy as np# 设计一个二阶低通滤波器
num = [1]
den = [1, 2*0.707*1, 1**2]
sys = lti(num, den)# 计算频率响应
w, mag, phase = sys.bode(n=1000)# 绘制频率响应
import matplotlib.pyplot as plt
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.semilogx(w, mag)  # 幅频特性
plt.title('Low-pass Filter Frequency Response')
plt.xlabel('Frequency [rad/s]')
plt.ylabel('Magnitude [dB]')
plt.grid(True)
plt.show()

4.2 控制系统中的复频域分析

• PID控制器设计：

  • 通过极点配置实现系统稳定
  • Ziegler-Nichols法则调整参数

• 深度学习中的稳定性控制：

  • RNN/LSTM中梯度消失/爆炸问题
  • 通过复频域分析设计稳定的激活函数

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5. Python实践：复频域分析

5.1 拉普拉斯变换与反变换

from sympy import symbols, Function, laplace_transform, inverse_laplace_transform# 定义符号变量
t, s = symbols('t s')
f = Function('f')(t)# 拉普拉斯变换
F = laplace_transform(f, t, s)
print("Laplace Transform:", F)# 逆变换
f_inv = inverse_laplace_transform(F, s, t)
print("Inverse Laplace Transform:", f_inv)

5.2 Z变换与反变换

from sympy import ztrans, inverse_ztransform# 定义符号变量
n, z = symbols('n z')
x = Function('x')(n)# Z变换
X = ztrans(x, n, z)
print("Z Transform:", X)# 逆变换
x_inv = inverse_ztransform(X, z, n)
print("Inverse Z Transform:", x_inv)

5.3 系统稳定性分析

from scipy.signal import TransferFunction# 连续系统稳定性分析
num = [1]
den = [1, 3, 2]
sys = TransferFunction(num, den)
print("Poles of the system:", sys.poles)# 离散系统稳定性分析
num_d = [1]
den_d = [1, -0.5]
sys_d = TransferFunction(num_d, den_d, dt=1)
print("Zeros of the system:", sys_d.zeros)
print("Poles of the system:", sys_d.poles)

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6. 参考资料

1. 拉普拉斯变换与Z变换的关系
2. 复频域分析法在电路中的应用
3. Scipy信号处理库文档
4. 深度学习中的稳定性控制