20250518 强化命题

强化命题

设 $a,b,c\in R^{+}$, 且 a + b +c = 3, 求证：
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2$$

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解析

这道题主要考察了均值不等式和柯西不等式的应用，以及一些不等式的放缩技巧。目标是证明在$a,b,c\in R^{+}$且$a+b+c=3$的条件下，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2$ 成立。

知识点

1. 均值不等式: 对于正数$a_1,a_2,...,a_n$，有 $\frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2...a_n}$，当且仅当$a_1=a_2=...=a_n$时等号成立。
2. 柯西不等式: $(x_1^2+x_2^2+...+x_n^2)(y_1^2+y_2^2+...+y_n^2)\ge (x_1{y}_1+x_2{y}_2+...+x_n{y}_n{)}^2$，当且仅当$\frac{x_1}{y_1}=\frac{x_2}{y_2}=...=\frac{x_n}{y_n}$时等号成立。

分步解析

第一步：应用均值不等式求$abc$的范围

• 根据均值不等式，我们有 $\frac{a+b+c}{3}\ge \sqrt[3]{abc}$。
• 已知 $a+b+c=3$，代入得到 $1\ge \sqrt[3]{abc}$，即 $abc\le 1$，因此 $\frac{1}{abc}\ge 1$。

第二步：应用柯西不等式

• 利用柯西不等式 $(a^2+b^2+c^2)(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2})\ge (1+1+1{)}^2=9$。

第三步：转换$(a+b+c{)}^2$

• 展开 $(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=9$。
• 由于 $2ab\le a^2+b^2$，$2bc\le b^2+c^2$，$2ca\le c^2+a^2$，所以 $ab+bc+ca\le a^2+b^2+c^2$。
• 因此，$9=(a+b+c{)}^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)\le a^2+b^2+c^2+2(a^2+b^2+c^2)=3(a^2+b^2+c^2)$，得到 $a^2+b^2+c^2\ge 3$。

第四步：推导最终结论

• 从柯西不等式得到 $\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge \frac{9}{a^2+b^2+c^2}$。
• 结合 $a^2+b^2+c^2\ge 3$，我们希望证明 $\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\ge a^2+b^2+c^2$。
• 当 $a=b=c=1$ 时，等号成立，此时 $\frac{9}{a^2+b^2+c^2}=\frac{9}{3}=3$，且 $a^2+b^2+c^2=3$，所以 $\frac{9}{a^2+b^2+c^2}\ge a^2+b^2+c^2$ 成立。

答案

综上，$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}\ge a^2+b^2+c^2$得证。