激活函数全解析：定义、分类与 17 种常用函数详解

一、激活函数的定义与作用

定义：
激活函数是添加到人工神经网络中的函数，用于帮助网络学习数据中的复杂模式，决定神经元的输出。
核心作用：

1. 为神经网络引入非线性，增强模型表达能力。
2. 需可微分（或近似可微），以支持梯度下降优化。
3. 部分激活函数可能引发梯度消失 / 爆炸问题（如 Sigmoid、Tanh）。

分类：

• 饱和激活函数：当输入趋近正 / 负无穷时，导数趋近于 0（如 Sigmoid、Tanh）。
• 非饱和激活函数：至少一侧导数不为 0（如 ReLU、Leaky ReLU、ELU）。

二、17 种常用激活函数详解

以下按类别整理，包含公式、图像描述、优缺点及 PyTorch 代码实现。

饱和激活函数

1. Sigmoid 函数

公式：f(x)=1+e−x1​,f′(x)=f(x)(1−f(x))
图像：S 型曲线，值域 [0,1]，导函数最大值 0.25。
优点：

• 输出范围适合表示概率（如二分类输出层）。
• 连续可导，梯度平滑。
  缺点：
• 梯度消失问题严重（|x|>5 时导数接近 0）。
• 输出非零中心，影响权重更新效率。
• 指数运算计算量大。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.Sigmoid()
input = torch.randn(2)
print("原:", input)       # 示例输入
print("结果:", m(input))  # 输出在(0,1)之间

2. Tanh 函数

公式：f(x)=ex+e−xex−e−x​,f′(x)=1−[f(x)]2
图像：S 型曲线，值域 [-1,1]，关于原点对称。
优点：

• 输出以 0 为中心，优于 Sigmoid 的隐藏层表现。
• 可微分，反对称性有助于打破线性关系。
  缺点：
• 仍存在梯度消失问题（输入过大 / 小时导数趋近 0）。
• 指数运算计算量大。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.Tanh()
input = torch.randn(2)
print("原:", input)       # 示例输入
print("结果:", m(input))  # 输出在(-1,1)之间

非饱和激活函数（ReLU 及其变体）

3. ReLU 函数

公式：f(x)={x,0,​x≥0x<0​,f′(x)={1,0,​x>0x<0​
图像：x≥0 时线性输出，x<0 时恒为 0，导函数为 0 或 1。
优点：

• 计算速度快，无指数运算。
• 避免梯度消失（x>0 时梯度为 1）。
  缺点：
• 负输入导致神经元 “死亡”（Dead Neuron 问题）。
• 输出非零中心。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.ReLU()
input = torch.randn(2)
print("原:", input)       # 示例输入
print("结果:", m(input))  # 负输入置0，正输入保留

4. Leaky ReLU 函数

公式：f(x)={x,λx,​x≥0x<0​,λ∈(0,1)
改进：负半轴引入小斜率 λ（默认 0.01），避免 Dead Neuron。
缺点：λ 为固定超参数，可能影响模型灵活性。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.LeakyReLU(negative_slope=0.1)  # λ=0.1
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 负输入按λ缩放

5. PReLU 函数

公式：为可训练参数
改进：α 作为参数学习，而非固定值（如 Leaky ReLU）。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.PReLU(num_parameters=1)  # α为可训练参数
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 负输入按学习到的α缩放

6. RReLU 函数

公式：为随机值（范围如）
改进：训练时 α 随机取值，测试时固定，增强模型鲁棒性。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.RReLU(lower=0.1, upper=0.3)  # α∈(0.1, 0.3)
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 负输入按随机α缩放

7. ELU 函数

公式：为常数（默认）
优点：

• 负半轴指数平滑，均值趋近于 0，加速收敛。
• 缓解梯度消失，抗噪声能力强。
  缺点：计算复杂度高于 Leaky ReLU。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.ELU(alpha=1.0)  # 默认α=1
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 负输入按α(e^x-1)计算

8. SELU 函数

公式：（默认）
改进：

• 自标准化特性，确保各层输出趋近标准正态分布，避免梯度消失 / 爆炸。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.SELU()  # 自动应用默认λ和α
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 输出均值趋近于0

9. CELU 函数

公式：为常数（默认）
特点：负半轴指数缩放，平滑性优于 ELU，但实际应用较少。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.CELU(alpha=1.0)  # 默认α=1
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 负输入按α(e^{x/α}-1)计算

10. GELU 函数

公式：GELU(x)=0.5x(1+tanh(π2​​(x+0.044715x3)))
优点：

• 平滑版 ReLU，引入概率统计思想（输入的累积分布函数）。
• 泛化能力强，适合深层网络。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.GELU()
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 输出非线性且平滑

11. ReLU6 函数

公式：f(x)=⎩⎨⎧​0,x,6,​x≤00<x<6x≥6​
用途：限制激活范围，适合低精度设备（如移动端 float16/int8），避免数值溢出。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.ReLU6()
input = torch.tensor([-1.0, 5.0, 7.0])
print("结果:", m(input))  # 输出[0, 5, 6]

其他非饱和激活函数

12. Swish 函数

公式：为常数（默认）
优点：

• 平滑非单调，无上界有下界，缓解过拟合。
• 深层模型中性能优于 ReLU。
  PyTorch 代码（自定义实现）：

python

运行

class Swish(nn.Module):def __init__(self, beta=1):super().__init__()self.beta = betadef forward(self, x):return x * torch.sigmoid(self.beta * x)
m = Swish()
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))

13. Hardswish 函数

公式：f(x)=⎩⎨⎧​0,6x(x+3)​,x,​x≤−3−3<x<3x≥3​
用途：MobileNet V3 中替代 ReLU6，基于 Swish 的分段线性近似，计算效率更高。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.Hardswish()
input = torch.tensor([-4.0, 0.0, 4.0])
print("结果:", m(input))  # 输出[0, 0, 4]

14. SiLU 函数

公式：f(x)=x⋅sigmoid(x)
特点：Swish 的特例（β=1），平滑且非单调，PyTorch 中已内置。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.SiLU()  # 等价于nn.Swish(beta=1)
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))

15. Softplus 函数

公式：f(x)=ln(1+ex)
特点：ReLU 的平滑版本，输出非负，0 点可导，但计算量较大。
PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.Softplus()
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))  # 输出平滑逼近ReLU

16. Mish 函数

公式：f(x)=x⋅tanh(ln(1+ex))
优点：

• 无上界有下界，避免梯度饱和。
• 光滑性好，提升模型泛化能力。
  PyTorch 代码（自定义实现）：

python

运行

class Mish(nn.Module):def forward(self, x):return x * torch.tanh(F.softplus(x))
m = Mish()
input = torch.randn(2)
print("结果:", m(input))

多分类专用激活函数

17. Softmax 函数

公式：f(xi​)=∑j​exj​exi​​
用途：多分类任务输出层，将 logits 转化为概率（值域 [0,1]，和为 1）。
缺点：

• 指数运算可能导致数值溢出。
• 负输入梯度为 0，权重无法更新。
  PyTorch 代码：

python

运行

import torch.nn as nn
m = nn.Softmax(dim=0)  # 沿维度0归一化
input = torch.tensor([1.0, 2.0, 3.0])
print("结果:", m(input))  # 输出概率分布

总结对比

类型	代表函数	核心特点	适用场景
饱和激活函数	Sigmoid/Tanh	输出有界，梯度易消失，适合简单模型或输出层	二分类输出、早期神经网络
非饱和激活函数	ReLU 系列	计算高效，缓解梯度消失，负半轴处理方式各异	大多数深层神经网络
平滑激活函数	Swish/GELU	光滑非单调，泛化能力强，适合复杂模型	Transformer、BERT 等模型
多分类激活函数	Softmax	输出概率分布，用于多分类任务	分类任务输出层

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