二分法和牛顿迭代法解方程实根，详解

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二分法

解题思路

代码以及运行截图

牛顿迭代法

解题思路

代码和运行截图

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题目

编写程序，分别用二分法和牛顿迭代法求解方程x3 – 3x – 1 = 0在x = 2附近的实根，要求计算精确到小数点后7 位数字为止，并将求出的近似结果与理论值2cos20° 比较误差大小。
设二分法的初始迭代区间为 [1, 3]，牛顿迭代法的起点为4。

二分法

解题思路

        根据中学知识，我们知道一个函数，比如题目里的这个，当x的取值满足这个函数为0，即满足题目条件，为实根。

        如果我们取x1为a，x2为b，那么如果fx1乘以fx2小于0，那么x1和x2之间至少有一个解。

        题目告诉了我们区间为1到3，我们取a为1，b为3，mid一直为a+b再除以2。

        如果fmid为0，即为解。

        如果fmid和fa同号，解就在mid和b之间，让a变为mid

        如果fmid和fb同号，解就在mid和a之间，让b变为mid

        由于题目要求精度要到小数点后七位，所以判断条件可以为b - a < 1e-8,表示理论值，可以使用这串代码theo = 2 * cos(20 * M_PI / 180)

        可以使用    cout << fixed << setprecision(7);控制c++里面输出的数保留到小数点后六位。

代码以及运行截图

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;double func(double x) {return x*x*x - 3*x - 1;
}int main()
{const double theo = 2 * cos(20 * M_PI / 180); // 理论值 2cos20°double tol = 1e-8; // 精确到小数点后7位需要容差1e-8double a = 1;double b = 3;double mid;while((b - a) >= tol) {mid = (a + b) / 2;if(func(mid) == 0.0) {break;}else if(func(mid) * func(a) > 0)a = mid;else if(func(mid) * func(b) > 0)b = mid;}cout << "使用二分法求解:" << endl;cout << fixed << setprecision(7);cout << "近似根: " << mid << endl;cout << "理论值: " << theo << endl;cout << "绝对误差: " << abs(mid - theo) << endl << endl;return 0;
}

 

牛顿迭代法

解题思路

起点为4，设置迭代次数为100次 

迭代的核心代码为x_new = x - fx / dfx;然后不断逼近实根，最终得到一个解。

代码和运行截图

#include<iostream>
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;double func(double x) {return x*x*x - 3*x - 1;
}double deriv(double x) {return 3*x*x - 3;//导数
}int main()
{const double theo = 2 * cos(20 * M_PI / 180); // 理论值 2cos20°double iteration = 0;double tolerance = 1e-8; // 精确到小数点后7位需要容差1e-8double x = 4;//牛顿迭代法起点while(iteration < 100) {//迭代次数在一百次以内double fx = func(x);double dfx = deriv(x);if (abs(fx) < tolerance) {break;}if (dfx == 0) {cout << "导数为零，无法继续迭代。" << endl;}double x_new = x - fx / dfx;if (abs(x_new - x) < tolerance) {break;}x = x_new;iteration++;}//牛顿迭代法求解cout << fixed << setprecision(8);cout << "使用牛顿迭代法求解:" << endl;cout << "近似根: " << x << endl;cout << "理论值: " << theo << endl;cout << "绝对误差: " << abs(x - theo) << endl;return 0;
}