【Unity中的数学】—— 四元数

一、四元数的定义😎

四元数是一种高阶复数，是一个四维空间的概念，相对于复数的二维空间。它可以表示为 $q=s+ix+jy+kz$，其中 $s$、$x$、$y$、$z$ 都是实数，并且满足 $i^2=j^2=k^2=ijk=-1$，$ij=k$，$jk=i$，$ki=j$，$ji=-k$，$kj=-i$，$ik=-j$ 这些运算规则😜。

四元数的创造源于对复数以及矩阵的某些问题，在很多领域都有广泛的应用，比如计算机图形学、机器人学、航空航天等。它可以用来表示向量旋转或者坐标系转换，比欧拉角和旋转矩阵更具优势👏。例如，在计算机图形学中，四元数可以避免欧拉角表示旋转时出现的万向节死锁问题，并且计算更加紧凑高效，还能方便地进行球面插值。

二、万向节死锁😵

2.1 定义

万向节死锁（Gimbal Lock）是机械系统和三维空间旋转控制中的一种现象，主要发生在使用欧拉角描述三维旋转时😕。当一个旋转轴在一定条件下与另一个旋转轴重合时，系统失去了一个自由度，导致无法独立控制所有旋转方向，这种情况就称为万向节死锁。

2.2 原理

欧拉角是用来描述三维空间中刚体旋转的一种方法，它通过三个角度（通常为偏航角（yaw）、俯仰角（pitch）和滚转角（roll））来确定刚体的旋转状态😃。然而，欧拉角描述旋转时存在一个问题，就是当中间的旋转轴转动 90 度时，第一个旋转轴和第三个旋转轴会重合，系统就会损失一个自由度。

举个例子🤔，假如我们有一个飞机模型，按照 $X-Y-Z$ 的顺序进行旋转。当飞机绕 $Y$ 轴旋转 90 度时，$X$ 轴和 $Z$ 轴的旋转效果就会相同，此时飞机就无法独立控制绕 $X$ 轴的旋转了，这就是万向节死锁的表现。

2.3 避免方法

根据使用场景调整旋转顺序：用欧拉角描述旋转时无法完全避免死锁问题，但可以根据使用场景来减少死锁出现的概率。比如描述船在海上航行的姿态时，可以把中间的旋转轴定义为船的左右方向，因为船几乎很难在这个方向旋转 90 度（船头竖直朝上或朝下）🤗。
使用其他描述旋转的方式：使用四元数、旋转矩阵等其它方式描述旋转。四元数可以避免万向节死锁现象，并且只需要一个 4 维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高😎。

三、Unity中的四元数🎉

3.1 欧拉角与四元数互相转换

在 Unity 中，Transform 组件的 rotation 属性是一个四元数，但为了方便理解，我们通常会使用欧拉角来表示旋转。下面是欧拉角与四元数互相转换的方法👇：

3.1.1 欧拉角转四元数

// 获得挂在该脚本的对象的欧拉角
Vector3 euler = this.transform.eulerAngles;
Quaternion quater = Quaternion.Euler(euler);
Quaternion quater1 = Quaternion.Euler(0, 0, 0);

这里的 Quaternion.Euler 方法可以将欧拉角转换为四元数。它的实现原理是根据欧拉角的三个角度，通过一系列的三角函数计算得到四元数的四个分量😃。

3.1.2 四元数转欧拉角
print(quater.eulerAngles);

通过 eulerAngles 属性可以将四元数转换为欧拉角。需要注意的是，四元数到欧拉角的转换可能不是唯一的，因为一个旋转可以用多个不同的欧拉角表示😉。

3.2 对比物体间的旋转角度 Quaternion.Angle

Quaternion.Angle 方法用于计算两个四元数前方矢量之间的夹角度数，也就是对比物体之间的旋转角度😃。使用时需要声明一个公共 Transform 对象，示例代码如下：

public Transform target;void Update()
{float angle = Quaternion.Angle(transform.rotation, target.rotation);Debug.Log("角度: " + angle);
}

在这个例子中，我们在 Update 函数中不断计算当前物体和目标物体之间的旋转角度，并将结果输出到控制台。这个方法在很多场景中都很有用，比如游戏中判断两个角色的朝向夹角😎。

3.3 直接绕轴旋转角度 Quaternion.AngleAxis

Quaternion.AngleAxis 方法用于创建一个绕指定轴旋转指定角度的四元数😜。它的函数原型如下：

public static Quaternion AngleAxis(float angle, Vector3 axis);

参数说明：

angle：旋转的角度，以度为单位。
axis：旋转的轴向，一个 Vector3 类型的对象。

返回值是一个 Quaternion 类型的对象，表示旋转的结果。下面是一些使用示例👇：

3.3.1 绕 Y 轴旋转游戏对象

public class RotateObject : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed = 10f;private void Update(){// 根据旋转速度和 Y 轴创建旋转四元数Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed * Time.deltaTime, Vector3.up);// 将旋转应用到游戏对象的旋转属性上transform.rotation *= rotation;}
}

在这个示例中，我们创建了一个名为 RotateObject 的脚本，并将其绑定到一个游戏对象上。脚本中定义了一个 rotationSpeed 变量来控制旋转速度。在 Update 方法中，我们使用 Quaternion.AngleAxis 方法创建了一个绕 Y 轴旋转的旋转四元数 rotation，角度为 rotationSpeed 乘以 Time.deltaTime（用于平滑旋转）。然后，将该旋转应用到游戏对象的旋转属性上，使对象随时间不断绕 Y 轴旋转😎。

3.3.2 绕任意轴旋转游戏对象

public class RotateObject : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed = 10f;public Vector3 rotationAxis = Vector3.up;private void Update(){// 根据旋转速度和轴向创建旋转四元数Quaternion rotation = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed * Time.deltaTime, rotationAxis);// 将旋转应用到游戏对象的旋转属性上transform.rotation *= rotation;}
}

这个示例与上面的类似，只是我们可以指定任意的旋转轴。通过修改 rotationAxis 变量，我们可以让游戏对象绕不同的轴进行旋转😃。

3.3.3 连续旋转游戏对象

public class RotateObject : MonoBehaviour
{public float rotationSpeed1 = 10f;public float rotationSpeed2 = 5f;private void Update(){// 根据旋转速度和 Y 轴创建旋转四元数Quaternion rotation1 = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed1 * Time.deltaTime, Vector3.up);// 根据旋转速度和 X 轴创建旋转四元数Quaternion rotation2 = Quaternion.AngleAxis(rotationSpeed2 * Time.deltaTime, Vector3.right);// 将两个旋转应用到游戏对象的旋转属性上transform.rotation *= rotation1 * rotation2;}
}

在这个示例中，我们创建了两个旋转四元数 rotation1 和 rotation2，分别绕 Y 轴和 X 轴进行旋转。然后，将这两个旋转应用到游戏对象的旋转属性上，使对象同时绕 Y 轴和 X 轴连续旋转😜。

3.4 其他静态方法

除了上面介绍的方法，Quaternion 类还有很多其他的静态方法，如 Dot、Inverse、Lerp、LookRotation、RotateToWards 和 Slerp 等。这些方法的具体使用可以参考官方手册😃。

四、四元数的计算🧮

4.1 加法

两个四元数的加法就是将“实部虚部”对应位置做元素求和😃。设两个四元数 $q_1=s_1+i{x}_1+j{y}_1+k{z}_1$ 和 $q_2=s_2+i{x}_2+j{y}_2+k{z}_2$，则它们的和为： $q_1+q_2=(s_1+s_2)+i(x_1+x_2)+j(y_1+y_2)+k(z_1+z_2)$

四元数的加法满足交换律、结合律和分配律👏。

4.2 缩放

在系数缩放这一点上，四元数与复数是一致的😃。设四元数 $q=s+ix+jy+kz$，标量为 $\lambda$，则它们的乘积为： $\lambda q=\lambda s+i\lambda x+j\lambda y+k\lambda z$

4.3 乘法

四元数的乘法是所有元素之前都要运算一遍😕。设两个四元数 $q_1=s_1+i{x}_1+j{y}_1+k{z}_1$ 和 $q_2=s_2+i{x}_2+j{y}_2+k{z}_2$，则它们的乘积为： $q_1{q}_2=(s_1{s}_2-x_1{x}_2-y_1{y}_2-z_1{z}_2)+i(s_1{x}_2+s_2{x}_1+y_1{z}_2-y_2{z}_1)+j(s_1{y}_2+s_2{y}_1+x_2{z}_1-x_1{z}_2)+k(s_1{z}_2+s_2{z}_1+x_1{y}_2-x_2{y}_1)$

需要注意的是，四元数与复数的最大的一点不同，复数乘法是有交换律的，而四元数没有😉。也就是说，一般情况下 $q_1{q}_2\ne q_2{q}_1$。

4.3.1 旋转 = 四元数 * 四元数

四元数相乘可以将旋转效果组合😎。例如，$quaternion.euler(0,0,10)\ast quaternion.euler(0,0,15)==quaternion.euler(0,0,25)$，这就是四元数相乘的效果。在 Unity 中，我们可以通过四元数相乘来实现物体的复合旋转。

4.3.2 旋转向量 = 四元数 * 向量

四元数乘以向量表示将向量按照四元数表示的角度旋转😃。例如，$vector3a=quaternion.euler(0,0,10)\ast newvector3(0,0,30)$ 表示将（0，0，30）这个向量绕 z 轴为定轴，顺时针旋转 10°。需要注意的是，四元数只能进行 * 运算，不能进行 + - 运算，这是由四元数复杂的内部原理决定的😜。

4.4 其他运算

四元数还有一些其他的运算，如求模、单位化、求共轭、求逆等😃。这些运算在四元数的应用中也非常重要，下面是它们的定义和公式：

4.4.1 求模

四元数 $q=s+ix+jy+kz$ 的模定义为： $|q|=\sqrt{s^2+x^2+y^2+z^2}$

4.4.2 单位化

单位化是将四元数的模变为 1，公式为： $Normalize(q)=\frac{q}{|q|}$

4.4.3 求共轭

四元数 $q=s+ix+jy+kz$ 的共轭定义为： $q^{\ast }=s-ix-jy-kz$

4.4.4 求逆

四元数 $q$ 的逆定义为： $q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}$

对于单位四元数，分母为 1，$q^{-1}=q^{\ast }$。

五、总结🥳

四元数在 Unity 中是一个非常重要的概念，它可以用来表示物体的旋转，避免欧拉角表示旋转时出现的万向节死锁问题😎。通过本文的介绍，我们了解了四元数的定义、万向节死锁的原理、Unity 中四元数的操作以及四元数的计算方法。希望这些内容对你有所帮助，让你在使用 Unity 进行开发时能够更加得心应手👏！

如果你想进一步了解四元数的相关知识，可以参考一些专业的数学书籍或者在线教程。同时，也可以通过实践来加深对四元数的理解，比如在 Unity 中创建一些简单的旋转效果，使用四元数来实现物体的旋转控制😃。