当前位置：首页 > news >正文

平面坐标系中判断点P是否在线段上AB上的常用方法总结

news 2025/5/11 10:11:34

在平面坐标系中，判断点 P 是否在线段 AB 上，可以通过以下 5种常用算法 实现，涵盖数学原理、实现步骤和代码示例：

1. 参数化方程法（推荐）

原理

将点 P 表示为线段 AB 的线性插值，检查参数 t 是否在 [0,1] 范围内且满足共线性。

步骤

共线性检验：
计算向量 AP 和 AB 的叉积（二维叉积为标量）：
Cross=(xP−xA)(yB−yA)−(yP−yA)(xB−xA)
若 ∣Cross∣>ϵ（微小阈值，如 10−6），则点不共线。
参数 t 检查：
若共线，计算参数：
t=∥AB∥2(xP−xA)(xB−xA)+(yP−yA)(yB−yA)
若 t∈[0,1]，则 P 在线段上。

代码实现

python

复制

def is_point_on_segment(A, B, P, epsilon=1e-6):cross = (P[0] - A[0]) * (B[1] - A[1]) - (P[1] - A[1]) * (B[0] - A[0])if abs(cross) > epsilon:  # 不共线return Falsedot = (P[0] - A[0]) * (B[0] - A[0]) + (P[1] - A[1]) * (B[1] - A[1])t = dot / ((B[0] - A[0])**2 + (B[1] - A[1])**2)return 0 <= t <= 1

2. 距离和检验法

原理

若点 P 在线段 AB 上，则 AP+PB=AB。

步骤

计算距离 AP、PB、AB。
检查 ∣AP+PB−AB∣<ϵ。

代码实现

python

复制

def is_point_on_segment_distance(A, B, P, epsilon=1e-6):d_AB = ((B[0] - A[0])**2 + (B[1] - A[1])**2)**0.5d_AP = ((P[0] - A[0])**2 + (P[1] - A[1])**2)**0.5d_PB = ((B[0] - P[0])**2 + (B[1] - P[1])**2)**0.5return abs(d_AP + d_PB - d_AB) < epsilon

3. 直线方程代入法

原理

将 P 的坐标代入线段 AB 的直线方程，检查是否满足且位于端点之间。

步骤

若线段非垂直（xA=xB），检查斜率一致性：xP−xAyP−yA=xB−xAyB−yA
若线段垂直（xA=xB），检查 xP=xA 且 yP 在 [yA,yB] 内。
最后检查 P 的坐标是否在 A 和 B 的范围内。

代码实现

python

复制

def is_point_on_segment_equation(A, B, P, epsilon=1e-6):if abs(B[0] - A[0]) < epsilon:  # 垂直线段return abs(P[0] - A[0]) < epsilon and min(A[1], B[1]) <= P[1] <= max(A[1], B[1])else:slope = (B[1] - A[1]) / (B[0] - A[0])on_line = abs((P[1] - A[1]) - slope * (P[0] - A[0])) < epsilonin_range = min(A[0], B[0]) <= P[0] <= max(A[0], B[0])return on_line and in_range

4. 边界框快速排除法

原理

先检查 P 是否在线段 AB 的轴对齐包围盒（AABB）内，再结合共线性检验。

步骤

检查 P 的坐标是否满足：min(xA,xB)≤xP≤max(xA,xB)min(yA,yB)≤yP≤max(yA,yB)
若在包围盒内，再进行共线性检验（如方法1）。

代码实现

python

复制

def is_point_on_segment_bbox(A, B, P, epsilon=1e-6):in_bbox = (min(A[0], B[0]) <= P[0] <= max(A[0], B[0])) and \(min(A[1], B[1]) <= P[1] <= max(A[1], B[1]))if not in_bbox:return Falsecross = (P[0] - A[0]) * (B[1] - A[1]) - (P[1] - A[1]) * (B[0] - A[0])return abs(cross) < epsilon

5. 面积法（三角形面积为零）

原理

若 P 在线段 AB 上，则三角形 ABP 的面积为 0。

步骤

计算叉积的绝对值（即平行四边形面积）：Area=∣(xA(yB−yP)+xB(yP−yA)+xP(yA−yB))∣
若 Area<ϵ，则共线，再检查坐标范围。

代码实现

python

复制

def is_point_on_segment_area(A, B, P, epsilon=1e-6):area = abs(A[0]*(B[1] - P[1]) + B[0]*(P[1] - A[1]) + P[0]*(A[1] - B[1]))if area > epsilon:return Falsereturn min(A[0], B[0]) <= P[0] <= max(A[0], B[0]) and \min(A[1], B[1]) <= P[1] <= max(A[1], B[1])

算法对比

方法	优点	缺点	适用场景
参数化方程法	高精度，直接计算参数 t	需计算叉积和点积	通用场景（推荐）
距离和检验法	直观易理解	浮点误差敏感	快速近似判断
直线方程法	显式处理垂直/水平线段	需分情况处理斜率	已知线段方向时
边界框法	快速排除明显不在的点	需额外共线性检验	预处理优化
面积法	数学简洁	计算面积后仍需范围检查	教学演示