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25高教社杯数模国赛【A题国奖核心成品论文+问题解析】第一弹

news 2025/9/6 12:49:48

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在这里插入图片描述

五、模型建立与求解

5.1 问题一模型建立与求解

5.1.1 问题一求解思路
问题一采用机理-几何判定模型：在给定 FY1 的飞行速度为 120 m/s、朝向假目标、受领后 1.5 s 投放、再延迟 3.6 s 起爆的前提下，分别写出导弹、无人机、干扰弹与云团的时间参数方程。以遮蔽判据将时间轴映射为“可遮蔽/不可遮蔽”的二值区间，并通过线-球时变相交条件求得有效遮蔽时间长度。

空间—时间描述与参数对应
以假目标为原点、水平面为 xy 平面建立三维坐标系；真目标为半径 7 m、高 10 m 的圆柱体，其下底面圆心为 $(0, 200, 0)$ 。来袭导弹 M1 在雷达发现瞬时（设 $t = 0$ ）处于 $(20000, 0, 2000)$ ，以 $m/s300\text{ m/s}$ 的恒定速度沿直线指向假目标飞行；FY1 在 $(17800, 0, 1800)$ ，受领任务后瞬时定向，随后以等高度直线匀速飞行。本问给定 FY1 固定朝向假目标、速度 $m/s120\text{ m/s}$ ；受领后 $s1.5\text{ s}$ 投放 1 枚干扰弹， $s3.6\text{ s}$ 后起爆；起爆后烟幕云团球形、中心以 $m/s3\text{ m/s}$ 匀速下沉，起爆后 $s20\text{ s}$ 内、距云团中心 $m10\text{ m}$ 邻域为有效遮蔽区。
下将真目标取为其下底面圆心 T=(0,200,0)；遮蔽判据定义为：“导弹到真目标的视线线段与任一时刻的云团有效球有交”。
运动学方程：导弹—无人机—干扰弹—云团
2.1导弹（直线等速、指向原点）
设导弹初始位置 ${{P}_{M0}}=(20000,0,2000)$ 。其指向单位向量为 $u^M=−PM0∥PM0∥{{\widehat{\mathbf{u}}}_{M}}=-\frac{{{P}_{M0}}}{\|{{P}_{M0}}\|}$ ，速度为 $m/s300\text{ m/s}$ 。
2.2 无人机（等高、直线、匀速）
FY1 初始位置 ${{P}_{F0}}=(17800,0,1800)$ 。受领后立刻朝向假目标，且“等高度直线匀速”意味着其速度向量仅在水平面内： $u^F=−(17800,0,0)∥(17800,0,0)∥{{\widehat{\mathbf{u}}}_{F}}=-\frac{(17800,0,0)}{\|(17800,0,0)\|}$ ，速度 $m/s120\text{ m/s}$ 。

2.3 干扰弹（投放后抛体运动）
设投放时刻 $trel=1.5{{t}_{\text{rel}}}=1.5$ s、起爆延时 $Δt=3.6\Delta t=3.6$ s，记 $tdet=trel+Δt=5.1{{t}_{\text{det}}}={{t}_{\text{rel}}}+\Delta t=5.1$ s。投放瞬时位置 $Prel=F(trel){{P}_{\text{rel}}}=\mathbf{F}({{t}_{\text{rel}}})$ ，初速度与无人机一致且仅含水平分量 $120u^F120{{\widehat{\mathbf{u}}}_{F}}$ 。忽略空气阻力下的竖直自由落体（取重力加速度 $m/s2g=9.8\text{ m/}{{\text{s}}^{2}}$ ）：

起爆点为 $Cdet=B(tdet){{C}_{\text{det}}}=\mathbf{B}({{t}_{\text{det}}})$

2.4云团中心（起爆后匀速下沉）
起爆后，云团中心仅作竖直匀速下沉：
$m/s,t∈[tdet,tdet+20].\mathbf{C}(t)={{C}_{\text{det}}}+(0,0,-{{v}_{s}}(t-{{t}_{\text{det}}})),\qquad {{v}_{s}}=3\ \text{m/s},\quad t\in [{{t}_{\text{det}}},{{t}_{\text{det}}}+20].$
有效遮蔽球为半径 $r = 10$ m 的球 $∥x−C(t)∥≤r}S(t)=\{\mathbf{x}:\ \|\mathbf{x}-\mathbf{C}(t)\|\le r\}$ 。
3. 几何遮蔽判据与计算框架
记真目标代表点 T=(0,200,0)。导弹到真目标的视线线段可参数化为
$L(s;t)=T+s(M(t)−T),s∈[0,1].\mathbf{L}(s;t)=T+s(\mathbf{M}(t)-T),\qquad s\in [0,1].$
某时刻 $t$ 是否被遮蔽，等价于存在 $s∈[0,1]s\in [0,1]$ 使得 $∥L(s;t)−C(t)∥≤r\|\mathbf{L}(s;t)-\mathbf{C}(t)\|\le r$ 。对给定 $t$ ，线段到球心的最小距离由投影得到：
$s(t)=(C(t)−T)⋅(M(t)−T)∥M(t)−T∥2,s~(t)=min⁡{1,max⁡{0,s(t)}}.{{s}^{{}}}(t)=\frac{(\mathbf{C}(t)-T)\cdot (\mathbf{M}(t)-T)}{\|\mathbf{M}(t)-T{{\|}^{2}}},\qquad \tilde{s}(t)=\min \{1,\max \{0,{{s}^{{}}}(t)\}\}.$
据此定义最小距离函数
$∥2,{{d}^{2}}(t)={{\left\| \ T+\tilde{s}(t)(\mathbf{M}(t)-T)-\mathbf{C}(t)\ \right\|}^{2}},$
遮蔽判据写为
$d2(t)≤r2,t∈[tdet,tdet+20].{{d}^{2}}(t)\le {{r}^{2}},\qquad t\in [{{t}_{\text{det}}},{{t}_{\text{det}}}+20].$
于是，“有效遮蔽时长”即为上式成立集合的测度（时间长度）：
$∣T∣.\mathcal{T}=\{t\in [{{t}_{\text{det}}},{{t}_{\text{det}}}+20]\ :\ {{d}^{2}}(t)\le {{r}^{2}}\},\qquad =\ |\mathcal{T}|.$
5.1.3 问题一模型求解与分析
数值计算与结果展示

起爆点坐标
由 $u^F=−(17800,0,0)17800=(−1,0,0){{\widehat{\mathbf{u}}}_{F}}=-\frac{(17800,0,0)}{17800}=(-1,0,0)$ 、 $Prel=(17800,0,1800)+120×1.5u^F=(17620,0,1800){{P}_{\text{rel}}}=(17800,0,1800)+120\times 1.5{{\widehat{\mathbf{u}}}_{F}}=(17620,0,1800)$ ，得：
$Cdet=(17620,0,1800)+120×3.6u^F+(0,0,−12×9.8×3.62)=(17188.000, 0.000, 1736.496) m.{{C}_{\text{det}}}=(17620,0,1800)+120\times 3.6{{\widehat{\mathbf{u}}}_{F}}+(0,0,-\tfrac{1}{2}\times 9.8\times {{3.6}^{2}})=(17188.000,\ 0.000,\ 1736.496)\ \text{m}.$
云团中心轨迹（起爆后 20 s 内）
$25.1].\mathbf{C}(t)=(17188.000,\ 0.000,\ 1736.496-3(t-5.1)),\qquad t\in [5.1,\ 25.1].$
遮蔽区间求解
采用上述 $d2(t)≤r2{{d}^{2}}(t)\le {{r}^{2}}$ 判据，对 $t∈[5.1,25.1]t\in [5.1,25.1]$ 进行高分辨率扫描，并在边界点处对方程 ${{d}^{2}}(t)={{r}^{2}}$ 进行二分细化，得到唯一的遮蔽区间
$s]t\in [8.037891\ \text{s},\ 9.448088\ \text{s}]$
其对应的有效遮蔽时长
$s.9.448088-8.037891\approx 1.410197\ \text{s}.$
为便于复核，可在区间端点处验证 ${{d}^{2}}(t)-{{r}^{2}}=0$ ，在内部取任意一点（如 $t = 8.8$ s）验证 ${{d}^{2}}(t)-{{r}^{2}}<0$ ，在外部（如 $t = 7.5$ s 或 $t = 10.0$ s）验证 ${{d}^{2}}(t)-{{r}^{2}}>0$ 。
结果分析与一致性检验
几何机理解释。本问给定 FY1 朝向假目标、恒速 $m/s120\text{ m/s}$ ，干扰弹投放—起爆时序固定，因此 $Cdet{{C}_{\text{det}}}$ 位于真目标远侧的 $x≈17.2x\approx 17.2$ km 处、 $z≈1.74z\approx 1.74$ km 高度；云团随后按 $m/s3\text{ m/s}$ 竖直下沉。导弹自 $(20000, 0, 2000)$ 直指原点推进，导弹—真目标的视线线段在 $t≈8.04∼9.45t\approx 8.04\sim9.45$ s 期间掠过该云团球体 10 m 邻域，从而形成唯一一次、约 1.41 s 的有效遮蔽；在更早或更晚的时刻，最近点到云团中心的距离均大于 10 m，判据不满足，因此没有附加的遮蔽片段。

5.2 问题二模型建立与求解
5.2.1 问题二求解思路
问题二在上述机理映射之上，构建连续非线性极值模型以求单弹策略最优：将 FY1 的航向向量、巡航速度、投放时刻与起爆时刻作为决策变量，以“遮蔽区间并集的测度（总时长）”为目标，约束包括速度上下界、等高直线飞行与时序先后关系。目标函数由机理-几何判据对决策变量的非线性组合给出，允许出现多峰与非凸性。求解策略采用“粗网格枚举 + 局部无导数细化”的一体化流程：先对航向与速度在物理可行域内粗扫以获得若干高质量锚点，再以模式搜索/信赖域方法对投放-起爆时序作连续细化，从而在保证可复现性的前提下取得稳健解。该建模保持与问题一相同的判据与状态方程，只在决策层引入极值化。
5.2.2 问题二模型建立

机理映射到决策空间
在与问题一相同的空间与机理口径下（导弹以恒速直指假目标、FY1 等高度直线匀速、干扰弹投放后抛体、起爆后云团中心匀速下沉、云团半径与有效时窗固定），将单弹策略抽象为四个决策量：航向角 $\theta $（水平面从 $+ x$ 轴起的极角）、飞行速度 $vF∈[70,140]{{v}_{F}}\in [70,140]$ 、投放时刻 $trel≥0{{t}_{\text{rel}}}\ge 0$ 、起爆延迟 $Δt≥0\Delta t\ge 0$ 。起爆时刻为 $tdet=trel+Δt{{t}_{\text{det}}}={{t}_{\text{rel}}}+\Delta t$ 。
导弹、FY1、干扰弹与云团中心的时间参数方程（随决策而变）为
为刻画遮蔽，沿用问题一的视线—球体判据。设真目标代表点为，在任意时刻 $t$ ，导弹—真目标的视线段可记作 $L(s;t)=T+s(M(t)−T),,s∈[0,1]\mathbf{L}(s;t)=T+s(\mathbf{M}(t)-T),,s\in [0,1]$ 。定义“视线到云团中心的最近距离”函数

遮蔽判据为 $d2(t;⋅)≤r2{{d}^{2}}(t;\cdot )\le {{r}^{2}}$ 。本问目标是最大化起爆后 20 s 内满足判据的时间集合的测度。
最大化遮蔽时长的统一连续模型
将遮蔽时长定义为指标函数在时窗上的积分：

其中 $r=10,m{{t}_{\text{det}}}={{t}_{\text{rel}}}+\Delta t,\ r=10,\text{m}$ 。于是最优化模型写成在这里插入图片描述
为数值实现，将积分作均匀离散近似（步长 $\Delta \tau $，取 $Δτ=0.01∼0.02\Delta \tau =0.01\sim0.02$ s），并用线段—点最近距离的解析投影闭式表达计算 ${{d}^{2}}$ 。对任一 $t$ ，令 $P=C(t)\mathbf{A}=T,\ \mathbf{B}=\mathbf{M}(t),\ \mathbf{P}=\mathbf{C}(t)$ ，有在这里插入图片描述

在问题一基础上，将决策量从“固定给定”推广为“可优化变量。
数值求解策略：粗网格筛选 + 无导数细化
考虑 $J\mathcal{J}$ 的非凸与不可导性，采用两阶段求解：
阶段 A：粗网格全局筛选
在 $θ∈[−π,π]\theta \in [-\pi ,\pi ]$ 、 $vF∈[70,140]{{v}_{F}}\in [70,140]$ 、 $trel∈[0,10]{{t}_{\text{rel}}}\in [0,10]$ 、 $Δt∈[0,6]\Delta t\in [0,6]$ 上取稀疏网格，逐点计算 $J^\widehat{\mathcal{J}}$ ，选取前若干高值锚点。
阶段 B：局部无导数细化
以粗网格最优点为起点，对 $(θ,vF,trel,Δt)(\theta ,{{v}_{F}},{{t}_{\text{rel}}},\Delta t)$ 做收缩随机邻域搜索/模式搜索，每隔若干次迭代按比例衰减步长，直到改进不足。该过程等价于在统一机理判据下对起爆点 $B(tdet)\mathbf{B}({{t}_{\text{det}}})$ 与视线相对几何位置进行连续微调。

5.2.3 问题二模型求解与分析
决策量仅四个： $Δt\theta ,\ {{v}_{F}},\ {{t}_{\text{rel}}},\ \Delta t$ ；
数值求解采用粗网格+无导数细化，边界通过 $f (t) = 0$ 二分精化；

采用上述策略（离散步长取 $s\Delta \tau =0.02\ \text{s}$ 粗扫，细化时刻边界用二分法求解 ${{d}^{2}}(t)-{{r}^{2}}=0$ ），得到单弹最优策略的一组代表性结果：
最优航向角： $θ⋆≈8.371∘{{\theta }^{\star }}\approx \text{8}\text{.37}{{\text{1}}^{{}^\circ }}$ （从 $+ x$ 轴朝 $+ y$ 略偏）；
最优速度： $vF⋆=70.396m/sv_{F}^{\star }=\text{70}\text{.396m/s}$ ；
最优投放时刻： $st_{\text{rel}}^{\star }=\text{0}\text{.118}\ \text{s}$ ；
最优起爆延迟： $s\Delta {{t}^{\star }}\approx \text{0}\text{.985}\ \text{s}$ ，故 $st_{\text{det}}^{\star }\approx \text{1}\text{.103}\ \text{s}$ ；
遮蔽区间（边界二分细化）： $s[1.1608053823704236,\ 5.903175053238348]\ \text{s}$ ；
总遮蔽时长：
$s\ 5.903175053238348-1.1608053823704236=4.742369670867925\ \text{s}$ 。
对应的曲线（视线到云团中心的最近距离）如下，阴影为满足 $d(t)≤rd(t)\le r$ 的遮蔽时段：
在这里插入图片描述
最优策略下的距离–时间曲线
几何示意（导弹轨迹、FY1 轨迹与云团中心轨迹）如下：

最优策略几何示意 3D 图
起爆时刻提前（ $tdet⋆≈1.03st_{\text{det}}^{\star }\approx 1.03\text{s}$ ）使云团尽早进入导弹—真目标的视线附近；
偏小的飞行速度（ $70m/s70\text{m/s}$ ）在等高度直线条件下使投放点与起爆点更靠近 FY1 初始位置，从而让云团形成后能在更长时间内与视线保持较小的相对距离；
航向轻微偏转（ $θ⋆≈9.16∘{{\theta }^{\star }}\approx {{9.16}^{{}^\circ }}$ ）对云团横向定位起到“微调”作用，使得 $d (t)$ 在较长时间内维持在阈值 $r=10mr=10\text{m}$ 附近或以下，从而拉长遮蔽区间。
2) 判据与边界精化
记 $f(t)={{d}^{2}}(t)-{{r}^{2}}$ 。在上文区间端点 ${{t}_{1}},{{t}_{2}}$ 处，满足 $f(ti)≈0f({{t}_{i}})\approx 0$ ；在区间内部任一点（如 $t=12(t1+t2)t=\tfrac{1}{2}({{t}_{1}}+{{t}_{2}})$ ）有 $f (t) < 0$ ，而在区间外（如 ${{t}_{1}}-0.2$ 、 ${{t}_{2}}+0.2$ ）有 $f (t) > 0$ 。该模式与遮蔽—无遮蔽逻辑一致，保证区间识别的可靠性。
3) 与问题一的递进关系
问题一给定参数下的遮蔽时长为 $s\approx 1.41\ \text{s}$ 。在完全相同的物理与几何判据下，通过优化 $(θ,vF,trel,Δt)(\theta ,{{v}_{F}},{{t}_{\text{rel}}},\Delta t)$ ，时长提升至 $s\approx 4.75\ \text{s}$ ；提升来自相对运动几何的有利编排。
目标函数为时窗测度极大化： $max⁡∫1(d2≤r2),dt\max \int{\mathbf{1}}({{d}^{2}}\le {{r}^{2}}),dt$ ，判据与问题一完全一致；