MATLAB矩阵及其运算（四）矩阵的运算及操作

一、矩阵的运算

MATLAB的运算符分为算术运算符、关系运算符和逻辑运算符三大类别。

1.1 算术运算符

MATLAB的算术运算符如下表：

需注意的是，乘法、除法的对象为矩阵时，表示矩阵的乘除，而.*和./表示数组中对应元素的乘和除。

例：矩阵的乘法运算。

另外，左除、右除代表的含义也不同。

（1）对象为标量的时候，被除数的位置不同。

例：标量的左除和右除。

左除运算：

右除运算：

右除的分母在右边，左除的分母在左边。

（2）对象为矩阵的时候，代表的含义不同。

例：矩阵的左除和右除。

矩阵的左除是以左边的矩阵为除数，右除是以右边的矩阵为除数，因此得到的结果不一样。

1.2 关系运算符

MATLAB提供了6种关系运算符，其结果返回值为1或者0，分别表示运算关系是否成立。关系运算符如下表：

关系运算符通常用于程序的流程控制，常与if，while，for，switch等控制命令一起使用。

例：设矩阵A=[4 3 -5],B=[4 5 -8],比较两者的大小。

1.3 逻辑运算符

MATLAB提供了4种逻辑运算符，其结果返回值为1或0，表示一个逻辑量，即“真”或“假”。逻辑运算符如下表：

例：设矩阵a=[1 3 9 - 8 5 6]，判断矩阵a中大于3且小于7的元素。

二、矩阵的其他运算符

MATLAB的矩阵运算符非常丰富，能够满足各种运算需求，矩阵的其他运算符见下表：

2.1 转置

转置是将矩阵的行转成列，列转成行。

例：将矩阵转置。

2.2 重新排列

重新排列后的新矩阵，必须保证重构后的新矩阵的元素与A一致，两者行、列、维数相等。

2.3 求秩

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立（线性不相关）的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性无关的横行的极大数目。也就是说，如果把矩阵看成是一个个行向量或者列向量，秩就是这些行向量或者列向量的秩，也就是极大无关组中所含向量的个数。

例：求矩阵的秩。

矩阵A为满秩矩阵（秩等于矩阵的行数（或列数，因为它是方阵）。

因为矩阵B中，第一行与第二行线性相关，故矩阵B的秩为2。

不满秩矩阵被称为奇异矩阵，其行列式一定等于0。

矩阵的秩是矩阵中线性无关的行（或列）向量的最大数量，计算方法主要有以下几种，适用于不同场景：

方法 1：通过行最简形（行阶梯形）计算

这是最常用的方法，步骤如下：

1. 初等行变换：对矩阵进行初等行变换（交换两行、某行乘非零常数、某行加另一行的倍数），将矩阵化为行阶梯形矩阵（Row Echelon Form）。
2. 数非零行：行阶梯形矩阵中非零行的数量即为矩阵的秩。

方法 2：通过行列式判断（仅适用于方阵）

对于n×n的方阵：

1. 若行列式不为 0，则矩阵满秩（秩 = n）。
2. 若行列式为 0，则秩 < n，需进一步判断（例如计算其 n-1阶子式是否非零，直至找到最高阶非零子式）。

示例： 3 阶矩阵 A 的行列式 det(A)不等于 0→ 秩为 3；

3 阶矩阵 B 的行列式 det(B) = 0，且存在 2 阶子式非零 → 秩为 2。

方法 3：通过向量组的线性相关性

1. 把矩阵的行（或列）视为向量，构成行（或列）向量组。
2. 求该向量组中线性无关向量的最大个数，即为矩阵的秩。

方法 4：用软件计算（实际应用中）

在 MATLAB、Python 等工具中，可直接调用函数：

• MATLAB：rank(A)
• Python（NumPy）：np.linalg.matrix_rank(A)

import numpy as np
A = np.array([[1,3,8], [2,4,6], [7,8,9]])
print(np.linalg.matrix_rank(A))  # 输出3

关键结论

• 矩阵的秩 = 行秩 = 列秩（行秩与列秩相等）。
• 秩的范围：\(0 \leq \text{秩}(A) \leq \min(\text{行数}, \text{列数})\)。
• 初等变换不改变矩阵的秩（这是行阶梯形方法的理论基础）。

实际计算时，行阶梯形方法是最直观且通用的选择，尤其适合手动计算；软件工具则适合处理高阶矩阵。

2.4 矩阵行列式

行列式的计算方法根据矩阵阶数的不同而有所区别，以下是几种常用的计算方法，从低阶到高阶逐步介绍：

高阶行列式（n≥4）

高阶行列式计算较复杂，通常结合以下技巧简化：

方法 ：初等行变换（化为上三角矩阵）

利用行列式的性质，通过初等行变换将矩阵化为上三角矩阵（主对角线下方元素全为 0），此时行列式等于主对角线元素的乘积。

行列式性质：

• 交换两行，行列式变号；
• 某行乘常数 k，行列式变为原来的 k 倍；
• 某行加另一行的倍数，行列式不变。

用软件计算（高效便捷）

在实际应用中，高阶行列式可通过工具快速计算：

• MATLAB：det(A)
• Python（NumPy）：np.linalg.det(A)

import numpy as np
A = np.array([[1, 2], [3, 4]])
print(np.linalg.det(A))  # 输出 -2.0

总结

• 低阶行列式（2-3 阶）：直接用公式或对角线法则。
• 高阶行列式：优先通过初等行变换化为上三角矩阵，或按零元素多的行 / 列展开。
• 实际应用：借助软件工具高效计算，避免手动计算出错。

行列式的核心意义在于判断矩阵是否可逆（行列式非零则可逆），以及求解线性方程组等场景。

矩阵行列式的调用命令是det。

例：求矩阵的行列式。

（1）不满秩的情况。

（2）满秩的情况。

2.5 矩阵求逆

一个矩阵具有逆矩阵，必须满足相应的条件。矩阵的逆矩阵存在的充要条件为：

（1）矩阵为满秩矩阵；

（2）矩阵的行列式不等于零；

（3）矩阵必须为方阵。

例：求矩阵的逆。

假如矩阵为奇异矩阵（不满秩），则其逆矩阵不存在。

例：求矩阵的逆。

2.6 矩阵的翻转与旋转

矩阵的翻转与旋转命令如下表：

flipdim 函数的作用是沿指定维度翻转矩阵，它必须接收两个输入参数：

1. 第一个参数是要翻转的矩阵（如变量 A）
2. 第二个参数是指定的翻转维度（1 表示沿行方向翻转，2 表示沿列方向翻转）

c = flipdim(A, 1);  % 沿第1维度（行方向）翻转矩阵A
% 或
c = flipdim(A, 2);  % 沿第2维度（列方向）翻转矩阵A

在较新的 MATLAB 版本中，推荐使用更直观的 flip 函数替代 flipdim，用法类似：flip(A, 1) 或 flip(A, 2)。

2.7 矩阵的提取与合并

矩阵的提取主要分为两种形式：

一种使用函数提取；另一种使用冒号表达式提取。

函数diag实现矩阵对角元素的提取。

其调用格式如下：

（1）diag（x）：

当输入x为矩阵的时候，输出结果为提取主对角线的元素形成的列向量。

当输入x为向量时，输出结果为以x为主对角线的对角矩阵。

（2）diag（x，k）：

当输入x为矩阵的时候，输出结果为以x作为第k条对角线形成的列向量。

当输入x为向量的时候，输出结果为以x作为第k条对角线的对角矩阵。

例：矩阵的提取。

提取x中的第一条对角线元素形成向量输出。

例：向量的提取。

2.8 冒号“：”的使用

在MATLAB中，冒号表示全部的含义，除了用于形成等差数组，还能用于矩阵元素的提取。

例：冒号功能的使用示例。

已知矩阵

M=[1 5 6 ;9 8 7 ;2 90 10]

观察以下命令作用的结果。

显示矩阵M第一列的全部元素。

显示矩阵M第2行和第3行的全部元素

显示矩阵M第1行、第2行的第1列元素

显示矩阵M第4个位置的元素。

显示矩阵M第1个到第4个位置的元素

即当矩阵的括号里无逗号的时候，里面的元素表示位置。

M（a）：a表示位置，M（3）表示第三个位置的元素。

M（1：5）：表示提取第1个到第5个位置对应的元素。

有逗号的时候，逗号之前是行，之后是列，“：”表示全部。

M（1，6）：表示提取第1行、第6列的元素

M（1：2，：）表示提取第1行、第2行的所有元素。

M（：，2：4：6）表示提取第2，4 6列的所有元素。

M（：，[1 3 4]）表示提取第1，3，4列的所有元素。

M（：，[2 3]）=[ ]表示删除第2 ，3列的所有元素。

2.9 矩阵的和并

将小矩阵合并成大矩阵的操作，主要利用分号和逗号表达式来完成。

例：已知A=[1 3 ;5 6],B= [7 8],C=[100 200 8]'，将A与B合并成3行2列得到E矩阵，再将E与C合并成3行3列的矩阵。