时间复杂度
时间复杂度是用来衡量算法执行时间随着输入数据规模（通常用 nnn 来表示）增长而变化的趋势。在这里，O(log n) 表示随着数组大小 n增大，算法的运行时间增长非常缓慢，实际上是对数增长。
好的，我来给你详细解释一下复杂度的概念，特别是 O(log n) 和 O(n)。
1. 时间复杂度的概念：
时间复杂度是用来衡量算法执行所需时间与输入规模之间的关系的。在实际应用中，我们关注的是随着输入规模的增大，算法执行时间是如何变化的。
O(1)：常数时间复杂度，表示无论输入规模有多大，算法所需的时间都是固定的。
O(n)：线性时间复杂度，表示随着输入规模的增大，算法所需的时间也会按比例增加。
O(log n)：对数时间复杂度，表示随着输入规模的增大，算法所需的时间增长得比较慢。
O(n^2)：平方时间复杂度，表示输入规模增加时，算法的时间复杂度会以平方的方式增加。
2. 举个例子：O(n) 与 O(log n)
例子 1: O(n) - 线性时间复杂度
假设你有一个数组，数组长度是 nn，你要在数组中查找某个值。
代码如下：
def linear_search(nums, target):for i in range(len(nums)): # O(n)if nums[i] == target:return ireturn -1
O(n) 是线性时间复杂度，意味着随着数组大小的增大，查找操作的次数会线性增加。
例如：假设你有一个包含 10 个元素的数组，最坏情况下你需要检查 10 次；如果数组有 1000 个元素，你最坏情况下需要检查 1000 次。
线性增长的例子：
输入 10 个元素：最多检查 10 次。
输入 1000 个元素：最多检查 1000 次。
输入 1 万个元素：最多检查 1 万次。
3. 举个例子：O(log n) - 对数时间复杂度
现在你要在一个 有序数组 中查找某个值。你可以使用 二分查找，它的时间复杂度是 O(log n)，这意味着随着数组大小的增大，查找操作的次数增长得比较慢。
代码如下：
def binary_search(nums, target):left, right = 0, len(nums) - 1while left <= right:mid = (left + right) // 2 # O(1)if nums[mid] == target:return midelif nums[mid] < target:left = mid + 1else:right = mid - 1return -1
O(log n) 是对数时间复杂度，表示每次查找时都把问题规模减半。
例如：假设你有一个包含 16 个元素的数组，最多需要查找 4 次就可以确定目标的位置。
第一次查找：数组中间的元素。
第二次查找：剩下的一半元素。
第三次查找：剩下的四分之一元素。
第四次查找：剩下的八分之一元素。
这样，只需要4次操作就能确定目标，即使数组增加到 1024 个元素，也只需要 10 次操作。
对数增长的例子：
输入 16 个元素：最多需要 4 次操作。
输入 1024 个元素：最多需要 10 次操作。
输入 1 万个元素：最多需要 14 次操作。
4. 对比 O(n) 和 O(log n)
O(n)：随着输入规模增大，操作次数按比例增加。如果输入从 10 增加到 1000，操作次数大约增加了 100 倍。
O(log n)：随着输入规模增大，操作次数增加得比较慢。输入从 10 增加到 1000，操作次数大约增加了 3 次（从 4 次增加到 10 次）。
5. 举个更具体的对比例子：
假设你有一个包含 1,000,000（100 万）个元素的数组，分别使用 O(n) 和 O(log n) 算法进行查找：
O(n)：
最多需要检查 1,000,000 次。
O(log n)：
log21000000≈20\log_2 1000000 \approx 20，最多只需要进行 20 次查找。
6. 总结：
O(n) 表示随着数据量的增加，算法的执行时间成比例地增加（线性增长）。
O(log n) 表示随着数据量的增加，算法的执行时间增长得很慢，因为每次操作都会将问题规模减半（对数增长）。
log lg ln 分别表示以2为底，10为底，e为底
常见的对数底数：
底数 2（log₂ n）：在计算机科学中，常用 底数 2 的对数，通常写作 log₂ n 或简称 log n，表示“2 的多少次幂等于 n”。
例如，log₂ 8 = 3，因为 23=82^3 = 8。
这个对数在计算机算法中尤其常见，因为计算机内部是基于二进制的，所有的操作都是通过 2 这个基数来进行的。
底数 10（log₁₀ n）：底数为 10 的对数也很常见，尤其在数学和工程中，通常写作 log₁₀ n 或 lg n，表示“10 的多少次幂等于 n”。
例如，log₁₀ 1000 = 3，因为 103=100010^3 = 1000。
自然对数（logₑ n）：底数为 e（自然对数）的对数，也写作 ln n，在数学和物理中经常用到，其中 e ≈ 2.718。
例如，ln e = 1，因为 e1=ee^1 = e。