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非线性规划学习笔记

非线性规划学习笔记

一、非线性规划的应用

非线性规划(Nonlinear Programming, NLP)在很多领域都有重要应用,主要包括:

  • 工程设计优化:结构优化、电路参数优化、交通线路设计
  • 经济与管理:投资组合优化、生产计划优化、供需均衡模型
  • 能源与环境:电力系统优化调度、环境治理
  • 机器学习与数据科学:神经网络训练、支持向量机等

二、非线性规划的一般模型

min⁡ f(x)s.t. gi(x)≤0,i=1,2,…,mhj(x)=0,j=1,2,…,px∈Rn \begin{aligned} \min \ & f(x) \\ \text{s.t.} \ & g_i(x) \leq 0, \quad i = 1,2,\dots,m \\& h_j(x) = 0, \quad j = 1,2,\dots,p \\& x \in \mathbb{R}^n \end{aligned} min s.t. f(x)gi(x)0,i=1,2,,mhj(x)=0,j=1,2,,pxRn

  • f(x)f(x)f(x):目标函数(可能是非线性的)
  • gi(x),hj(x)g_i(x), h_j(x)gi(x),hj(x):约束条件(可能是非线性的)

三、MATLAB 中的非线性规划工具

MATLAB 的 Optimization Toolbox 提供了多种函数:

1. fmincon —— 约束非线性规划

[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon)
  • fun:目标函数
  • x0:初始点
  • A, b:线性不等式约束 Ax≤bAx \leq bAxb
  • Aeq, beq:线性等式约束
  • lb, ub:变量上下界
  • nonlcon:非线性约束函数(返回 c(x) <= 0, ceq(x) = 0

2. fminunc —— 无约束非线性优化

[x, fval] = fminunc(fun, x0)

3. 全局优化方法

  • ga —— 遗传算法
  • patternsearch —— 模式搜索
  • simulannealbnd —— 模拟退火

四、MATLAB 示例

示例 1:约束非线性规划

min⁡f(x)=(x1−1)2+(x2−2)2 \min f(x) = (x_1-1)^2 + (x_2-2)^2 minf(x)=(x11)2+(x22)2

约束条件:

x12+x22≤5,x1≥0,x2≥0 x_1^2 + x_2^2 \leq 5, \quad x_1 \geq 0, \quad x_2 \geq 0 x12+x225,x10,x20

% 目标函数
fun = @(x) (x(1)-1)^2 + (x(2)-2)^2;% 初始点
x0 = [0,0];% 线性约束
A = []; b = [];
Aeq = []; beq = [];% 边界
lb = [0,0];
ub = [];% 非线性约束
nonlcon = @(x) deal(x(1)^2 + x(2)^2 - 5, []); % 调用 fmincon
[x, fval] = fmincon(fun, x0, A, b, Aeq, beq, lb, ub, nonlcon);disp('最优解:'); disp(x);
disp('最优目标值:'); disp(fval);

示例 2:无约束非线性优化

min⁡f(x)=x4−3x3+2 \min f(x) = x^4 - 3x^3 + 2 minf(x)=x43x3+2

fun = @(x) x^4 - 3*x^3 + 2;
x0 = 0;  % 初始点
[x, fval] = fminunc(fun, x0);disp('最优解:'); disp(x);
disp('最优目标值:'); disp(fval);
http://www.xdnf.cn/news/1351279.html

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