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小波变换（详细解释和代码示例）

news 2025/8/21 9:27:06

本文将详细介绍小波变换（Wavelet Transform, WT），包括其原理、公式以及应用代码示例。

一、小波变换的原理

Time-Frequency 把时域和频域联系起来，是两者的折中。

1. 背景

在信号和图像处理中，傅里叶变换（FT） 能很好地描述信号的频率特性（拆成sin cos 的组合），但它不包含时域信息：

FT：频率分布准确，但丢失了信号在时间上的位置。
短时傅里叶变换（STFT）：通过固定窗口引入时间局部化，但窗口大小固定 → 高频和低频信号的分析精度受限。

傅里叶只是频率的函数，为了解决这个问题。
于是乎，我们引入了 小波变换（Wavelet Transform, WT），：

使用 可伸缩、可平移的小波基函数（wavelet basis function）—— 故具有“短时性”，也就是在时域上是局部的。
高频信号 → 用窄窗口（高分辨率）分析。
低频信号 → 用宽窗口（低分辨率）分析。
这就是 多分辨率分析（Multiresolution Analysis, MRA） 的思想。

PS： There is always a trade-off between time resolution & frequency resolution. WT is between the two.

2. 数学公式

设信号为 $f (t)$ ，母小波（mother wavelet）为 $ψ(t)\psi(t)$ 。

连续小波变换（CWT）：

$Wf(a,b)=1∣a∣∫−∞∞f(t)ψ∗(t−ba)dtW_f(a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^{\infty} f(t) \, \psi^*\left(\frac{t-b}{a}\right) \, dt$

$a$ ：尺度因子（scale, 类似频率的倒数）。
$b$ ：平移因子（translation, 表示时间位置）。
$ψ(t)\psi(t)$ ：小波基函数。
$ψ∗\psi^*$ ：复共轭。

含义：对信号 $f (t)$ 与一系列伸缩、平移后的波形 $ψa,b(t)\psi_{a,b}(t)$ 做内积 → 得到不同时间-尺度上的特征。

小波函数的两个约束（Zero mean &Finite energy）:

当然可以！我们来详细说明 小波函数（wavelet function） 的两个基本约束条件，以及它们的数学意义和直观解释。小波函数 $ψ(t)\psi(t)$ 是小波分析的核心，它必须满足以下两个条件：零平均值（零矩条件）和有限能量条件（平方可积条件）。

1) 零平均值条件（Zero Mean Condition）

数学公式：

$∫−∞+∞ψ(t)dt=0\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(t) \, dt = 0$

解释：

这个条件意味着小波函数在时间轴上“平均值为零”，即正负波动抵消。
它确保小波函数是一个振荡函数（oscillatory），不会包含直流分量（DC）。
直观上，小波用于检测信号的变化或局部细节，而不是整体平均值。零平均值保证小波对常数信号的响应为零，从而专注于信号的局部变化。

例子：

Haar 小波：

$ψ(t)={1,0≤t<0.5−1,0.5≤t<10,otherwise\psi(t) = \begin{cases} 1, & 0 \le t < 0.5 \\ -1, & 0.5 \le t < 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}$

$∫00.51dt+∫0.51(−1)dt=0\int_{0}^{0.5} 1 \, dt + \int_{0.5}^{1} (-1) \, dt = 0$

2) 有限能量（Finite Energy / Square Integrable Condition）

数学公式：

$∫−∞+∞∣ψ(t)∣2dt<∞\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(t)|^2 \, dt < \infty$

解释：

这个条件要求小波函数在整个时间域上的平方可积。
它保证了小波函数在频域上有良好的表现，可以进行傅里叶变换。
从信号分析角度，有限能量意味着小波不会“无限振荡”，能够有效捕捉信号局部特征。

二、小波变换的作用

信号去噪：小波变换能区分出信号的主要成分和噪声，保留主要特征，去除噪声。
图像压缩：JPEG2000 就是基于小波变换的图像压缩方法。
特征提取：在语音识别、图像识别、地震波分析中提取局部特征。
边缘检测：小波对高频分量敏感，可用于图像边缘检测。
多尺度分析：同时看到“整体趋势”和“局部细节”。

三、Python 实际代码示例

1. 小波去噪（Wavelet Denoising）

思路：

对图像做小波分解
对高频系数做阈值处理（去除噪声）
小波重构 → 得到去噪图像

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
import pywt
import pywt.data# 载入示例图像
original = pywt.data.camera()# 添加噪声
noisy = original + 20 * np.random.standard_normal(original.shape)# 小波分解
coeffs2 = pywt.dwt2(noisy, 'db1')
LL, (LH, HL, HH) = coeffs2# 阈值处理（软阈值）
def soft_threshold(data, threshold):return np.sign(data) * np.maximum(np.abs(data) - threshold, 0)threshold = 30
LH = soft_threshold(LH, threshold)
HL = soft_threshold(HL, threshold)
HH = soft_threshold(HH, threshold)# 重构
denoised = pywt.idwt2((LL, (LH, HL, HH)), 'db1')# 可视化
fig, axes = plt.subplots(1, 3, figsize=(12, 4))
titles = ['Original', 'Noisy', 'Denoised']
for i, img in enumerate([original, noisy, denoised]):axes[i].imshow(img, cmap='gray')axes[i].set_title(titles[i])axes[i].axis('off')
plt.show()

结果：
在这里插入图片描述

小波阈值能有效去除噪声，同时保持图像边缘。

2. 小波图像压缩

思路：

小波分解图像
只保留最大的部分系数，舍弃小系数（信息压缩）
小波重构 → 得到近似压缩图像

import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
import pywt.data
import numpy as np# 载入示例图像
original = pywt.data.camera()# 小波分解
coeffs2 = pywt.wavedec2(original, 'haar', level=2)# 将系数展平成数组
arr, coeff_slices = pywt.coeffs_to_array(coeffs2)# 压缩：保留前 10% 最大系数
threshold = np.percentile(np.abs(arr), 90)
arr_compressed = arr * (np.abs(arr) > threshold)# 重构
coeffs_compressed = pywt.array_to_coeffs(arr_compressed, coeff_slices, output_format='wavedec2')
reconstructed = pywt.waverec2(coeffs_compressed, 'haar')# 可视化
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 5))
axes[0].imshow(original, cmap='gray')
axes[0].set_title("Original")
axes[1].imshow(reconstructed, cmap='gray')
axes[1].set_title("Compressed (10% coeffs)")
plt.show()

结果：
在这里插入图片描述

图像基本保留主要信息，但文件存储大幅减少。

3. 小波边缘检测

思路：高频分量（LH, HL, HH）包含了边缘信息，可以直接用于检测。

import matplotlib.pyplot as plt
import pywt
import pywt.data# 载入示例图像
original = pywt.data.camera()# 小波分解
coeffs2 = pywt.dwt2(original, 'haar')
LL, (LH, HL, HH) = coeffs2# 边缘图像 = 高频部分叠加
edges = abs(LH) + abs(HL) + abs(HH)# 可视化
fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(10, 5))
axes[0].imshow(original, cmap='gray')
axes[0].set_title("Original")
axes[1].imshow(edges, cmap='gray')
axes[1].set_title("Edges (Wavelet)")
plt.show()