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PWM波的频谱分析及matlab 验证[电路原理]

news 2025/8/11 9:04:10

你知道吗？pwm可以制作adc模块哦！这样普通的gpio也能实现adc功能了。
我们嵌入式日常接触的pwm波，你真的了解他吗？
只有知道PWM的频谱是怎么样的，才能设计合适的滤波器，下面我们一起从底层数学原理来推导PWM的频谱分量吧。

PWM频谱分量推导

一、PWM 波的函数定义

在一个周期([0, T])内，PWM 波的表达式为：
$\begin{cases} A & ,\ 0 \leq t \leq DT \quad \text{（高电平阶段）} \\ 0 & ,\ DT < t \leq T \quad \text{（低电平阶段）} \end{cases}$

二、傅里叶系数(F_n)的计算

复数形式的傅里叶系数定义为：
$Fn=1T∫0Tf(t)e−jnω0tdt(n=0,±1,±2,…)F_n = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) e^{-jn\omega_0 t} dt \quad (n = 0, \pm1, \pm2, \dots)$

步骤 1：拆分积分区间

根据 PWM 的分段定义，将积分拆分为高电平和低电平两部分：
$Fn=1T(∫0DTA⋅e−jnω0tdt+∫DTT0⋅e−jnω0tdt)F_n = \frac{1}{T} \left( \int_{0}^{DT} A \cdot e^{-jn\omega_0 t} dt + \int_{DT}^{T} 0 \cdot e^{-jn\omega_0 t} dt \right)$
低电平阶段的积分项为 0，因此简化为：
$Fn=AT∫0DTe−jnω0tdtF_n = \frac{A}{T} \int_{0}^{DT} e^{-jn\omega_0 t} dt$

步骤 2：计算积分

利用指数函数积分公式
$∫ektdt=1kekt+C\int e^{kt} dt = \frac{1}{k} e^{kt} + C$
，得：
$∫0DTe−jnω0tdt=[e−jnω0t−jnω0]0DT=1−jnω0(e−jnω0⋅DT−e0)\int_{0}^{DT} e^{-jn\omega_0 t} dt = \left[ \frac{e^{-jn\omega_0 t}}{-jn\omega_0} \right]_{0}^{DT} = \frac{1}{-jn\omega_0} \left( e^{-jn\omega_0 \cdot DT} - e^{0} \right)$
代入
$ω0=2π/T，则ω0⋅DT=2πDn\omega_0 = 2\pi/T ，则 \omega_0 \cdot DT = 2\pi D n$
，因此：
$∫0DTe−jnω0tdt=1−jnω0(e−jn2πD−1)\int_{0}^{DT} e^{-jn\omega_0 t} dt = \frac{1}{-jn\omega_0} \left( e^{-jn2\pi D} - 1 \right)$

步骤 3：代入(F_n)并化简

将积分结果代入傅里叶系数公式：
$Fn=AT⋅1−jnω0(e−jn2πD−1)F_n = \frac{A}{T} \cdot \frac{1}{-jn\omega_0} \left( e^{-jn2\pi D} - 1 \right)$
利用 $ω0T=2π\omega_0 T = 2\pi$ （即 $1Tω0=12π\frac{1}{T\omega_0} = \frac{1}{2\pi}$ ）化简：
$Fn=A−jn⋅2π(e−jn2πD−1)=Ajn2π(1−e−jn2πD)F_n = \frac{A}{-jn \cdot 2\pi} \left( e^{-jn2\pi D} - 1 \right) = \frac{A}{jn2\pi} \left( 1 - e^{-jn2\pi D} \right)$

分量结论

综上，我们得出：

1. 直流分量（(n = 0)）

当(n = 0)时，原公式分母为 0，需单独计算：
$F0=1T∫0Tf(t)dt=1T⋅A⋅DT=ADF_0 = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) dt = \frac{1}{T} \cdot A \cdot DT = AD$
结论：直流分量与占空比D成正比，这是 PWM 用于模拟量控制的核心原理。

2. 交流谐波分量（ $\neq 0$ ）

利用欧拉公式 $e−jθ=cos⁡θ−jsin⁡θe^{-j\theta} = \cos\theta - j\sin\theta$ ，将(F_n)展开为幅度和相位形式：
$e^{-jn2\pi D} = 1 - \cos(2\pi n D) + j\sin(2\pi n D) = 2j e^{-jn\pi D} \sin(n\pi D)$
代入(F_n)得：
$Fn=Ajn2π⋅2je−jnπDsin⁡(nπD)=Anπe−jnπDsin⁡(nπD)F_n = \frac{A}{jn2\pi} \cdot 2j e^{-jn\pi D} \sin(n\pi D) = \frac{A}{n\pi} e^{-jn\pi D} \sin(n\pi D)$
因此，第n次谐波的幅度为：
$∣Fn∣=Anπ∣sin⁡(nπD)∣(n=±1,±2,…)|F_n| = \frac{A}{n\pi} |\sin(n\pi D)| \quad (n = \pm1, \pm2, \dots)$

这个可比方波的要复杂一点，因为你看到这个里面有一个sin(D)的关系项。不过，如果你就只关心直流量AD的话，这个只是告诉你，他的基波和谐波基本是连续的。

再提一个有趣的地方，这里的D取0.5的话，刚好可以把偶数波消掉，这也是方波为啥频谱不是全谐波的原因。

matlab验证

下面以振幅2 ，占空比为0.2的来计算一波。

clear; clc; close all;%% 参数设置
A = 2;          % 峰值幅度
D = 0.2;        % 占空比 (0 < D < 1)
F = 100;        % PWM频率 (Hz)
T = 1/F;        % 周期 (s)
fs = 100000;    % 采样频率 (Hz)，需远大于PWM频率以确保精度
N_cycles = 10;  % 生成的周期数
N = N_cycles * fs * T;  % 总采样点数%% 生成PWM信号
t = 0:1/fs:(N-1)/fs;    % 时间向量
t_mod = mod(t, T);       % 周期化时间
pwm = (t_mod < D*T) * A; % 生成PWM信号%% 计算频谱
Y = fft(pwm);                    % 傅里叶变换
f = (0:N-1)*(fs/N);              % 频率向量
P = abs(Y)/N;                    % 幅度谱（归一化）
P(2:end-1) = 2*P(2:end-1);       % 双边谱转单边谱（除DC分量外）% 截取有意义的频率范围（0到10倍PWM频率）
f_max = 10*F;
idx = f <= f_max;
f_plot = f(idx);
P_plot = P(idx);%% 理论计算频谱（用于对比）
n = 0:10;               % 谐波次数
f_theo = n*F;           % 理论频率点
P_theo = zeros(size(n));
P_theo(1) = A*D;        % 直流分量 (n=0)for i = 2:length(n)ni = n(i);P_theo(i) = (A/(ni*pi)) * abs(sin(ni*pi*D));
end%% 绘图
figure('Name','PWM波形及其频谱','Position',[100 100 1000 600]);% 绘制PWM波形
subplot(2,1,1);
plot(t, pwm, 'LineWidth',1.2);
xlabel('时间 (s)');
ylabel('幅度');
title(['PWM波形 (频率 = ', num2str(F), ' Hz, 占空比 = ', num2str(D), ')']);
xlim([0, 3*T]);  % 显示3个周期
grid on;% 绘制频谱
subplot(2,1,2);
plot(f_plot, P_plot, 'b', 'LineWidth',1.2);
hold on;
stem(f_theo, P_theo, 'r', 'MarkerFaceColor','r');
xlabel('频率 (Hz)');
ylabel('幅度');
title('PWM信号频谱');
legend('FFT计算结果', '理论计算结果');
xlim([0, f_max]);
grid on;
hold off;%% 显示关键谐波信息
disp('PWM信号主要谐波成分：');
disp('谐波次数 | 频率 (Hz) | 理论幅度 | FFT计算幅度');
disp('-------------------------------------------');
for i = 1:length(n)if i == 1fprintf('直流分量 | %8.1f | %8.4f | %8.4f\n', ...f_theo(i), P_theo(i), P_plot(f_plot == 0));else% 找到最接近理论频率的FFT结果[~, idx_closest] = min(abs(f_plot - f_theo(i)));fprintf('    %d    | %8.1f | %8.4f | %8.4f\n', ...n(i), f_theo(i), P_theo(i), P_plot(idx_closest));end
end