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除数博弈（动态规划）

news 2025/8/3 8:03:08

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 0 < x < n 且 n % x == 0 。
用 n - x 替换黑板上的数字 n 。

如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：n = 2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：n = 3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作

数学归纳法：

class Solution {
public:bool divisorGame(int n) {return n%2==0;  }
};

数学归纳法的核心是：

基础步：验证 n 取最小的几个值时猜想成立；
归纳步：假设 n ≤ k 时猜想成立，证明 n = k+1 时猜想也成立。

1. 基础步：n=1 和 n=2 时结论成立

n=1（奇数）：1 没有小于自身的因数（无法操作），先手必败（符合猜想）。
n=2（偶数）：2 的因数是 1，先手减去 1 后剩 1，后手无法操作，先手必胜（符合猜想）。

2. 归纳步：假设 n≤k 时成立，证明 n=k+1 时成立

分两种情况讨论 k 的奇偶性（因为 k 和 k+1 奇偶性相反）：

情况 1：k 是偶数 → k+1 是奇数

n = k+1 是奇数，其所有因数 x 必为奇数（奇数的因数都是奇数）。
先手（Alice）必须减去一个奇数 x，剩余数为 (k+1) - x：
- 奇数减奇数 = 偶数，且 (k+1) - x ≤ k（因为 x ≥ 1）。
- 根据归纳假设（n ≤ k 时成立），偶数必为必胜态，此时轮到后手（Bob）面对偶数，Bob 必胜。
结论：n=k+1（奇数）时，Alice 必败（符合猜想）。

情况 2：k 是奇数 → k+1 是偶数

n = k+1 是偶数，其因数 x 可以是奇数或偶数。
先手（Alice）可以选择减去一个奇数 x，剩余数为 (k+1) - x：
- 偶数减奇数 = 奇数，且 (k+1) - x ≤ k（因为 x ≥ 1）。
- 根据归纳假设（n ≤ k 时成立），奇数必为必败态，此时轮到后手（Bob）面对奇数，Bob 必败。
结论：n=k+1（偶数）时，Alice 可以通过选择合适的 x 让 Bob 必败，因此 Alice 必胜（符合猜想）。

最终结论

通过数学归纳法，证明了 “偶数时先手必胜，奇数时先手必败” 的猜想成立。

本质逻辑：奇数的因数都是奇数，操作后必然留下偶数（给对手必胜态）；而偶数可以通过减去奇数留下奇数（给对手必败态），因此奇偶性直接决定了胜负。

动态规划：

class Solution {
public:bool divisorGame(int n) {// 创建一个布尔类型数组R，大小为n，用于记录每个数字的先手状态// R[i]表示：当数字为i时，当前玩家（先手）是否能获胜（true为胜，false为败）vector<bool> R(n, false);// 基础情况：// 当数字为1时，没有小于1的因数，先手无法操作，必败R[1] = false;// 当数字为2时，先手可以取因数1，剩余1给对手（对手必败），因此先手必胜R[2] = true;// 从数字3开始，依次推递推计算每个数字的胜负状态for(int i = 3; i < n + 1; i++) {// 枚举当前数字i的所有可能因数j（1 ≤ j < i）for(int j = 1; j < i; j++) {// 核心判断：// 1. j必须是i的因数（i % j == 0）// 2. 取走j后，剩余数字i-j对应的状态为必败（!R[i-j]）// 如果存在这样的j，说明当前玩家可以通过取j让对手陷入必败态，因此当前玩家必胜if(i % j == 0 && !R[i - j]) {R[i] = true;  // 标记当前数字i为必胜态break;        // 找到一个有效j即可，无需继续枚举}}}// 返回数字n对应的先手状态（是否必胜）return R[n];}
};

通过定义状态 f[i] 记录 “当前数字为 i 时，先手是否必胜”，再从基础情况递推到更大的 i。

1. 状态定义

f[i] = true：当数字为 i 时，先手必胜；
f[i] = false：当数字为 i 时，先手必败。

2. 递推逻辑（核心）

对于数字 i，先手的胜负取决于其所有可能的下一步操作：

先手可以选择 i 的任意一个因数 j（0 < j < i），将数字变为 i-j（此时轮到后手操作，后手面对的状态是 f[i-j]）；
如果存在至少一个 j，使得 f[i-j] = false（即后手面对 i-j 时必败），那么先手可以选择这个 j，让后手陷入必败态，因此 f[i] = true（先手必胜）；
如果对于所有 j，都有 f[i-j] = true（即后手面对所有可能的 i-j 时都必胜），那么先手无论怎么操作都会让后手必胜，因此 f[i] = false（先手必败）。