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数学建模——灰色关联分析

news 2025/7/28 13:46:41

1.概念

1.灰色系统

灰色系统理论由中国学者邓聚龙于1982年提出，是一种研究“部分信息已知、部分信息未知”的不确定性系统的理论。其核心思想是通过对有限数据的生成、开发和提取，挖掘隐藏规律，实现系统行为的预测和控制。灰色系统介于“白色系统”（信息完全明确）与“黑色系统”（信息完全未知）之间，适用于贫信息、小样本的复杂系统分析。

灰色系统的主要特点

数据需求低：无需大量样本，即使少量数据也能建模。
动态预测能力：通过累加生成（AGO）或累减生成（IAGO）处理原始数据，弱化随机性，强化规律性。
应用广泛：涵盖经济、农业、工程、生态等领域，如GDP预测、灾害评估等。

核心模型与方法

灰色预测模型（GM）

最典型的是GM(1,1)模型，通过一阶微分方程描述数据趋势。

2.灰色关联分析
用于评估因素间关联程度，计算关联系数：

关联分析

就是系统地分析因素，回答众多因素中：什么因素重要，什么因素不重要；哪些因素影响大，哪些影响小等等

灰色关联度分析

灰色关联度分析（Grey Relational Analysis, GRA）是一种基于灰色系统理论的数学方法，用于量化系统中各因素间的关联程度。其核心思想是通过比较数据序列的几何形状相似性，判断各因素对主行为序列的影响强度，适用于小样本、贫信息的不确定性系统分析。

几何形状越相似——>发展态势越接近——>关联程度越大

2.关联分析步骤

1. 母序列（又称参考序列、母指标）
能反映系统行为特征的数据序列，类似于因变量

2. 子序列（又称比较序列、子指标）
影响系统行为的因素组成的数据序列，类似于自变量 X

3. 数据预处理
由于不同要素具有不同量纲和数据范围，因此需要预处理去量纲，统一到相近的范围内。
方法：先求每个指标的均值，再用指标中的元素除以其均值。

$X_{hi}' = \frac{X_{hi}}{\displaystyle \frac{1}{m}\sum_{k=1}^{m} X_{ki}}, \quad i=1,2,\dots,m$

4.计算灰色关联系数

母序列是数据预处理后每个候选人指标的最大值
计算子序列中各个指标与母序列的关联系数。

两极最小差： $a = \min_i \min_k \bigl|x_0(k)-x_i(k)\bigr|$
两极最大差： $b = \max_i \max_k \bigl|x_0(k)-x_i(k)\bigr|$

构造灰色关联系数

$\xi_i(k)=\frac{a+\rho\,b}{\bigl|x_0(k)-x_i(k)\bigr|+\rho\,b},\qquad 0<\rho\le1$

其中 ρ 为分辨系数，一般取 0.5。

5.计算灰色关联度

$r = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\xi(k) = \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}y\!\bigl(x_0(k),\,x_i(k)\bigr)$

2.代码

1.mean函数

在MATLAB中，mean函数用于计算数组或矩阵中元素的平均值。支持对向量、矩阵、多维数组等数据类型进行操作，并可指定沿特定维度计算。

1.默认计算：

M = mean(A)

对向量A返回所有元素的平均值；对矩阵A返回每列的均值（沿第一维计算）。

2.指定维度计算：

M = mean(A, dim)

dim为维度参数。例如：

dim=1：计算每列的均值（默认行为）。
dim=2：计算每行的均值。

2.两类代码

我也是看了半天，这两个不是一个东西

项目	灰色关联分析（GRA）	灰色关联评价（GRE）
目的	分析因素对结果的影响程度，识别关键驱动因素	对多个对象或方案进行排序或优劣评价
是否有参考序列	有，通常是母序列（参考序列），用于衡量子序列的影响程度	有，通常是理想最优序列，用于衡量各对象与理想值的接近程度
输出结果	各因素与参考序列的关联度排序	各评价对象与理想序列的接近程度排序
应用示例	分析哪些因素对经济增长影响最大	评估多个老师绩效谁最接近“理想教师”
是否用于决策	一般用于解释性分析，辅助理解系统结构	多用于评价决策，如选优、排序、分级等

%灰色关联分析
%灰色关联分析用于系统分析例题的讲解
clear; clc;A = input('请输入初始矩阵=');         % 输入初始矩阵Mean = mean(A);                       % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
A = A ./ repmat(Mean, size(A,1), 1);  % 数据预处理（去量纲）
disp('预处理后的矩阵为：'); disp(A);Y = A(:,1);                           % 母序列
X = A(:,2:end);                       % 子序列X0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)));   % 计算 |x0 - Xi| 矩阵a = min(min(X0_Xi));               % 两级最小差
b = max(max(X0_Xi));               % 两级最大差
rho = 0.5;                            % 分辨系数gamma = (a + rho*b) ./ (X0_Xi + rho*b);   % 关联系数矩阵
disp('子序列中各个指标的灰色关联度分别为：');
disp(mean(gamma));

%灰色关联评价
clear; clc;A = input('请输入初始矩阵=');         % 输入初始矩阵[n,m]=size(A);
disp(['共有' num2str(n) '个评价对象',num2str(m) '个评价指标']);
Judge = input(['这' num2str(m) '个指标是否需要正向化处理，需要输入1，不需要输入0:']);
if Judge==1Position=input('请输入需要正向化处理的指标所在的列，例如第2,3,6列现需要处理，那么输入[2,3,6]:');disp('请输入需要处理的这些列的指标类型（1：极小型，2：中间型，3：区间型）');Type=input('例如：第2列是极小型，第3列是区间型，第6列是中间型，需要输入[1,3,2]');for i=1:size(position,2)A(:,Position(i))=Positivization(A(:,Position(i)),Type(i),Position(i));enddisp('正向化后矩阵X=');disp(A);
endMean = mean(A);                       % 求出每一列的均值以供后续的数据预处理
A = A ./ repmat(Mean, size(A,1), 1);  % 数据预处理（去量纲）
disp('预处理后的矩阵为：'); disp(A);Y = max(A,[],2);                           % 母序列
X = A;                       % 子序列absX0_Xi = abs(X - repmat(Y,1,size(X,2)));   % 计算 |x0 - Xi| 矩阵a = min(min(absX0_Xi));               % 两级最小差
b = max(max(absX0_Xi));               % 两级最大差
rho = 0.5;                            % 分辨系数gamma = (a + rho*b) ./ (absX0_Xi + rho*b);   % 关联系数矩阵weight= mean(gamma)/sum(mean(gamma));%相当于算出了每一个因素的权重，标准化后乘到数据里面
score= sum(X .* repmat(weight,size(X,1),1),2);
stand_S=score/sum(score);%最终结果也要标准化一次
% [sorted_S,index]=sort(stand_S,'descend');

（其实不管用啥方法似乎都不会对最终结果有太大影响）