通过不同坐标系下的两个向量，求解旋转矩阵

问题

• 输入向量：已知在C坐标系中，W坐标系的x轴方向向量表达为${\mathbf{v}}_x$ 和 z轴方向向量表达为 ${\mathbf{v}}_z$。这些向量应满足：
  • 单位长度：$\Vert {\mathbf{v}}_x\Vert =1$ 且 $\Vert {\mathbf{v}}_z\Vert =1$（即归一化）。
  • 正交性：${\mathbf{v}}_x\cdot {\mathbf{v}}_z=0$（因为W坐标系的x轴和z轴在标准正交坐标系中互相垂直）。
• 输出：C相对于W坐标系的姿态的旋转部分，表示为旋转矩阵 $\mathbf{R}$。这个矩阵将点从C坐标系转换到W坐标系（即 ${\mathbf{p}}_w=\mathbf{R}{\mathbf{p}}_c$)。

求解步骤

由于C坐标系的x、y、z轴互相正交且遵循右手定则，y轴方向可以通过x轴和z轴的叉乘得到：
$${\mathbf{v}}_y={\mathbf{v}}_z\times {\mathbf{v}}_x$$

所以
$$\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=\mathbf{R}{\mathbf{v}}_x$$

这样子不好求R，但是转化为
$${\mathbf{v}}_x={\mathbf{R}}^T\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

很容易得到${\mathbf{R}}^T$的第一列就是${\mathbf{v}}_x$，以此类推，可知
$${\mathbf{R}}^T=\left[\begin{array}{ccc}{\mathbf{v}}_x& {\mathbf{v}}_y& {\mathbf{v}}_z\end{array}\right]$$

所以：
$${\mathbf{p}}_w=\mathbf{R}{\mathbf{p}}_c=\left[\begin{array}{c}{\mathbf{v}}_x^T\\ {\mathbf{v}}_y^T\\ {\mathbf{v}}_z^T\end{array}\right]{\mathbf{p}}_c$$