二阶 IIR（biquad）滤波器

二阶 IIR（biquad）滤波器的传递函数通常表示为：

$H(z)=\frac{b_0+b_1{z}^{-1}+b_2{z}^{-2}}{1+a_1{z}^{-1}+a_2{z}^{-2}}$

其中：

• 分子系数：$b_0,b_1,b_2$（前馈系数）
• 分母系数：$1,a_1,a_2$（反馈系数，注意 $a_0$ 固定为 1）

---

常见滤波器类型的系数公式

以下是几种典型二阶滤波器的系数计算方法（基于双线性变换法）：

1. 低通滤波器（Low-pass）

• 截止频率：$f_c$
• 采样频率：$f_s$
• 计算公式：
  ${\omega }_0=2\pi \frac{f_c}{f_s},\alpha =\frac{\sin ({\omega }_0)}{2Q},Q$ $\text{为品质因数}$
  $\begin{array}{rl}{b}_0& =\frac{1-\cos ({\omega }_0)}{2},\\ b_1& =1-\cos ({\omega }_0),\\ b_2& =\frac{1-\cos ({\omega }_0)}{2},\\ a_0& =1+\alpha ,\\ a_1& =-2\cos ({\omega }_0),\\ a_2& =1-\alpha .\end{array}$
  归一化后（除以$a_0$）：
  $b_0^{\prime }=\frac{b_0}{a_0},b_1^{\prime }=\frac{b_1}{a_0},b_2^{\prime }=\frac{b_2}{a_0},a_1^{\prime }=\frac{a_1}{a_0},a_2^{\prime }=\frac{a_2}{a_0}.$

2. 高通滤波器（High-pass）

• 系数公式（类似低通，但分子不同）：
  $\begin{array}{rl}{b}_0& =\frac{1+\cos ({\omega }_0)}{2},\\ b_1& =-(1+\cos ({\omega }_0)),\\ b_2& =\frac{1+\cos ({\omega }_0)}{2},\\ a_0& =1+\alpha ,\\ a_1& =-2\cos ({\omega }_0),\\ a_2& =1-\alpha .\end{array}$

3. 带通滤波器（Band-pass）

• 中心频率：$f_0$
• 带宽：$BW$
• 计算公式：
  ${\omega }_0=2\pi \frac{f_0}{f_s},\alpha =\frac{\sin ({\omega }_0)}{2Q},Q=\frac{f_0}{BW}$
  $\begin{array}{rl}{b}_0& =\alpha ,\\ b_1& =0,\\ b_2& =-\alpha ,\\ a_0& =1+\alpha ,\\ a_1& =-2\cos ({\omega }_0),\\ a_2& =1-\alpha .\end{array}$

4. 带阻滤波器（Notch）

• 系数公式（与带通类似，但分子为 $1-2\cos ({\omega }_0)z^{-1}+z^{-2}$）：
  $\begin{array}{rl}{b}_0& =1,\\ b_1& =-2\cos ({\omega }_0),\\ b_2& =1,\\ a_0& =1+\alpha ,\\ a_1& =-2\cos ({\omega }_0),\\ a_2& =1-\alpha .\end{array}$

---

实际应用示例

假设设计一个 低通滤波器：

• 采样率$f_s=48\text{kHz}$
• 截止频率 $f_c=1\text{kHz}$
• $Q=0.707$ (Butterworth）

计算步骤：

1. 计算 ${\omega }_0=2\pi \frac{1000}{48000}\approx 0.1309$
2. 计算 $\alpha =\frac{\sin (0.1309)}{2\times 0.707}\approx 0.0924$
3. 代入低通公式，得到系数（归一化后）：
   $\begin{array}{rl}{b}_0& =0.0089,\\ b_1& =0.0178,\\ b_2& =0.0089,\\ a_1& =-1.8521,\\ a_2& =\mathrm{0.8482.}\end{array}$

---

注意事项

1. 稳定性：确保$a_1^2<4a_2$（极点在单位圆内）。
2. 量化误差：在定点实现时，注意系数量化对频率响应的影响。
3. 工具辅助：使用 MATLAB（biquad 函数）、Python（scipy.signal.bilinear）或在线计算器（如 earlevel.com）验证。

如果需要具体参数的系数计算，请提供滤波器类型、截止频率、采样率和 ( Q ) 值！