MIT线性代数第一讲笔记
视频课程如下：
Lec 1 | MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005
求解方程组
引入例题，方程组求解，例题如下：
{ 2 x − y = 0 − x + 2 y = 3 \begin{cases} 2x - y = 0 \\ -x + 2y = 3 \end{cases} {2x−y=0−x+2y=3
使用矩阵的方式进行表示：
[ 2 − 1 − 1 2 ] ∗ [ x y ] = [ 0 3 ] \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2\end{bmatrix} *\begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\3\end{bmatrix} [2−1−12]∗[xy]=[03]
将 [ 2 − 1 − 1 2 ] \begin{bmatrix} 2&-1\\-1&2\end{bmatrix} [2−1−12]记作 A , 将 [ x y ] \begin{bmatrix} x\\y\end{bmatrix} [xy]记作 X，将 [ 0 3 ] \begin{bmatrix} 0\\3\end{bmatrix} [03]记作b， A X = b AX=b AX=b
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解法一(行图像)
如下图所示，在直角坐标系中，两个直线相交于点（1，2），所以方程组的解为 x=1 ,y=2
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解法二（列图像）
矩阵表方程组：
x [ 2 − 1 ] + y [ − 1 2 ] = [ 0 3 ] x\begin{bmatrix} 2\\-1\end{bmatrix}+y\begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\3\end{bmatrix} x[2−1]+y[−12]=[03]
其中 [ 2 − 1 ] \begin{bmatrix} 2\\-1\end{bmatrix} [2−1]看作二维向量（2，-1）， [ − 1 2 ] \begin{bmatrix} -1\\2\end{bmatrix} [−12]看成向量（-1，2）， [ 0 3 ] \begin{bmatrix} 0\\3\end{bmatrix} [03]看作向量（0，3），那么方程组就可以看成x倍（2，-1）加上 y 倍的（-1，2）等于（0，3），坐标系表示如下：
由于我们已经通过直角坐标系得知（1，2）是方程组的解，x=1,y=2。那么将x和y带入矩阵方程组，为了图像更加直观看出，将向量（-1，2）进行平移并扩大为原来的2倍，起点由原来的原点变为（2，-1），我们就可以看到图像如下，紫色的向量就是经过平移扩大得到的图像：
这里我们可以看到二维图像（二元一次）可以使用直角坐标系和向量表示，如果扩展到三维图像，九维图像………………