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贝塞尔曲线：优雅的数学艺术

news 2025/6/15 6:16:25

贝塞尔曲线：优雅的数学艺术

1. 什么是贝塞尔曲线？

贝塞尔曲线（Bézier Curve）是一种由控制点定义的参数化曲线，广泛应用于计算机图形学、动画设计、字体渲染和工程建模中。它由法国工程师皮埃尔·贝塞尔（Pierre Bézier）在20世纪60年代提出，最初用于汽车车身设计。

核心特点

由控制点定义：曲线形状由一组控制点 $P_0, P_1, \dots, P_n$ 决定。
光滑性：曲线始终位于控制点的凸包内，且具有连续可微性（ $C^\infty$ 光滑）。
递归定义：可通过德卡斯特里奥算法（De Casteljau’s algorithm）递归计算。

2. 贝塞尔曲线的数学表达

(1) 一般形式

$n$ 阶贝塞尔曲线由 $n + 1$ 个控制点定义，其参数方程如下：
$\mathbf{B}(t) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} (1-t)^{n-i} t^i \mathbf{P}_i, \quad t \in [0,1]$
其中：

$\mathbf{P}_i$ 是第 $i$ 个控制点（向量）。
$\binom{n}{i}$ 是二项式系数（组合数）。

(2) 常见贝塞尔曲线

阶数	名称	方程
1阶	线性贝塞尔曲线	$\mathbf{B}(t) = (1-t)\mathbf{P}_0 + t\mathbf{P}_1$
2阶	二次贝塞尔曲线	$\mathbf{B}(t) = (1-t)^2 \mathbf{P}_0 + 2(1-t)t \mathbf{P}_1 + t^2 \mathbf{P}_2$
3阶	三次贝塞尔曲线	$\mathbf{B}(t) = (1-t)^3 \mathbf{P}_0 + 3(1-t)^2 t \mathbf{P}_1 + 3(1-t)t^2 \mathbf{P}_2 + t^3 \mathbf{P}_3$

注：高阶贝塞尔曲线计算复杂，实际应用中常使用分段低阶曲线（如三次贝塞尔曲线）。

3. MATLAB 实现

我们使用 MATLAB 绘制二次和三次贝塞尔曲线，并可视化控制点和曲线变化。

(1) 二次贝塞尔曲线

% 定义控制点
P0 = [0, 0];
P1 = [2, 3];
P2 = [4, 0];% 参数 t ∈ [0,1]
t = linspace(0, 1, 100);% 计算贝塞尔曲线
Bx = (1-t).^2 .* P0(1) + 2*(1-t).*t .* P1(1) + t.^2 .* P2(1);
By = (1-t).^2 .* P0(2) + 2*(1-t).*t .* P1(2) + t.^2 .* P2(2);% 绘制
figure;
plot([P0(1), P1(1), P2(1)], [P0(2), P1(2), P2(2)], 'ro--'); % 控制点连线
hold on;
plot(Bx, By, 'b-', 'LineWidth', 2); % 贝塞尔曲线
title('二次贝塞尔曲线');
legend('控制多边形', '贝塞尔曲线');
grid on;

运行结果：
在这里插入图片描述

(2) 三次贝塞尔曲线

% 定义控制点
P0 = [0, 0];
P1 = [1, 4];
P2 = [3, 4];
P3 = [4, 0];% 参数 t ∈ [0,1]
t = linspace(0, 1, 100)';% 计算贝塞尔曲线
B = (1-t).^3 .* P0 + 3*(1-t).^2 .* t .* P1 + 3*(1-t).*t.^2 .* P2 + t.^3 .* P3;% 绘制
figure;
plot([P0(1), P1(1), P2(1), P3(1)], [P0(2), P1(2), P2(2), P3(2)], 'ro--'); % 控制点连线
hold on;
plot(B(:,1), B(:,2), 'b-', 'LineWidth', 2); % 贝塞尔曲线
title('三次贝塞尔曲线');
legend('控制多边形', '贝塞尔曲线');
grid on;