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大矩阵可以分解为低秩矩阵的乘积

news 2025/6/14 8:35:52

大矩阵可以分解为低秩矩阵的乘积

flyfish

核心结论：矩阵的秩分解定理

任何矩阵均可分解为两个秩等于其自身秩的矩阵的乘积。
设矩阵 $\in \mathbb{R}^{m \times n}$ 的秩为 $r$ ，则存在矩阵 $\in \mathbb{R}^{m \times r}$ 和 $\in \mathbb{R}^{r \times n}$ ，使得 $A = BC$ ，且 $\text{rank}(B) = \text{rank}(C) = r$ 。

这里的 $B$ 和 $C$ 相对于原矩阵 $A$ 的维度（ $\times n$ ）可能是“低秩”的，尤其当 $\ll m, n$ 时，这种分解体现了“用低秩矩阵乘积表示大矩阵”的思想。

为什么大矩阵可以分解为低秩矩阵的乘积？——从线性变换角度理解

矩阵本质上表示线性变换，而秩 $r$ 表示变换后的空间维度（列空间的维度）。

分解逻辑：
1. 矩阵 $A$ 的列空间是 $r$ 维的，可选取 $r$ 个线性无关的列作为“基向量”，构成矩阵 $B$ （ $\times r$ ，列满秩）。
2. 矩阵 $A$ 的每一列都可以表示为这 $r$ 个基向量的线性组合，组合系数构成矩阵 $C$ （ $\times n$ ，行满秩）。
  因此， $A = BC$ 等价于“用基向量（ $B$ ）和系数矩阵（ $C$ ）还原原矩阵”。

具体例子：构造低秩分解

例1：简单矩阵的秩分解
设矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}$ ，显然其秩 $r = 1$ （第二行是第一行的2倍）。

选取主元列（第一列）作为 $B$ ： $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ （ $\times 1$ 矩阵）。
构造系数矩阵 $C$ ，使得 $A$ 的每一列是 $B$ 的线性组合：
第一列： $\times 1$ ，第二列： $\times 2$ ，第三列： $\times 3$ ，故 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}$ （ $\times 3$ 矩阵）。
验证： $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} = A$ ，成功将 $\times 3$ 矩阵分解为两个 $\times 1$ 和 $\times 3$ 的低秩矩阵乘积。

例2：高维矩阵的低秩近似（实际应用场景）
设矩阵 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 9 & 12 \end{pmatrix}$ ，秩 $r = 1$ ，维度 $\times 4$ 。

分解为 $\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$ ， $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix}$ ，则 $A = BC$ 。
这里 $B$ 和 $C$ 的秩均为1，远小于原矩阵的维度，体现了“用低秩结构表示大矩阵”的思想，常用于矩阵压缩（如图片压缩）或降维。

更一般的矩阵分解：从秩分解到低秩近似

满秩分解（标准分解）
对任意矩阵 $A$ ，若秩为 $r$ ，可通过选取主元列和主元行构造分解：
- 设 $A$ 的前 $r$ 列线性无关，构成矩阵 $B$ （主元列矩阵）；
- 设 $A$ 中前 $r$ 行构成的子矩阵满秩，通过初等变换构造 $C$ （系数矩阵）。
低秩近似（实际应用中的“大矩阵分解”）
在机器学习、推荐系统中，常利用矩阵的低秩性质进行近似：
- 例如，奇异值分解（SVD）： $U\Sigma V^T$ ，若只保留前 $k$ 个最大奇异值，则 $\approx U_k\Sigma_k V_k^T$ ，其中 $U_k$ （ $\times k$ ）和 $V_k^T$ （ $\times n$ ）是低秩矩阵， $\ll \text{rank}(A)$ ，实现“用更低秩的矩阵乘积近似原矩阵”。
- 应用场景：Netflix推荐系统中，用户-电影评分矩阵可分解为“用户特征矩阵”和“电影特征矩阵”的乘积，降低数据维度。