使用特征线法求解一阶线性齐次偏微分方程组

求解以下方程组：

第一个：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=xy,\\ u{|}_{x=0}=0;\end{array}$$

第二个：
$$\{\begin{array}{l}\frac{\partial u}{\partial x}+3\frac{\partial u}{\partial y}=u,\\ u{|}_{x=0}=y.\end{array}$$

求每个方程组的通解。

解题过程

第一个方程组：

$$\{\begin{array}{l}{u}_x+3u_y=xy,\\ u{|}_{x=0}=0.\end{array}$$

这是一个一阶线性偏微分方程。使用特征线法求解。

• 特征方程：$$\frac{dx}{1}=\frac{dy}{3}=\frac{du}{xy}$$。
• 令特征变量 $$\xi =y-3x$$（沿特征线为常数）。
• 沿特征线，$$\frac{du}{dx}=u_x+u_y\frac{dy}{dx}=u_x+3u_y=xy$$。
• 代入 $$y=3x+\xi$$，得：
  $$\frac{du}{dx}=x(3x+\xi )=3x^2+\xi x.$$
• 积分：
  $$u=\int (3x^2+\xi x)dx=x^3+\frac{\xi }{2}{x}^2+g(\xi ),$$
  其中 $$g(\xi )$$ 是积分常数（依赖于 $$\xi$$）。
• 代入 $$\xi =y-3x$$：
  $$u(x,y)=x^3+\frac{(y-3x)}{2}{x}^2+g(y-3x)=\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{2}{x}^3+g(y-3x).$$
• 通解：$$u(x,y)=\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{2}{x}^3+g(y-3x)$$，其中 $$g$$ 是任意函数。
• 应用初始条件 $$u{|}_{x=0}=0$$：
  $$u(0,y)=\frac{1}{2}(0{)}^{2}y-\frac{1}{2}(0{)}^3+g(y-3\cdot 0)=g(y)=0.$$
  所以 $$g(y-3x)=0$$。
• 特解（满足初始条件）：
  $$u(x,y)=\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{2}{x}^3=\frac{1}{2}{x}^2(y-x).$$

验证：

• 计算偏导数：
  $$u_x=\frac{\partial }{\partial x}\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{2}{x}^3\right]=xy-\frac{3}{2}{x}^2,u_y=\frac{\partial }{\partial y}\left[\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{2}{x}^3\right]=\frac{1}{2}{x}^2.$$
• 代入方程：
  $$u_x+3u_y=\left(xy-\frac{3}{2}{x}^2\right)+3\left(\frac{1}{2}{x}^2\right)=xy-\frac{3}{2}{x}^2+\frac{3}{2}{x}^2=xy.$$
• 初始条件：当 $$x=0$$ 时，$$u(0,y)=\frac{1}{2}(0{)}^2(y-0)=0$$，满足。

第二个方程组：

$$\{\begin{array}{l}{u}_x+3u_y=u,\\ u{|}_{x=0}=y.\end{array}$$

这是一个一阶线性齐次偏微分方程。使用特征线法求解。

• 特征方程：$$\frac{dx}{1}=\frac{dy}{3}=\frac{du}{u}$$。
• 令特征变量 $$\xi =y-3x$$（沿特征线为常数）。
• 沿特征线，$$\frac{du}{dx}=u_x+u_y\frac{dy}{dx}=u_x+3u_y=u$$。
• 解常微分方程：
  $$\frac{du}{dx}=u⟹u=h(\xi )e^x,$$
  其中 $$h(\xi )$$ 是积分常数（依赖于 $$\xi$$）。
• 代入 $$\xi =y-3x$$：
  $$u(x,y)=h(y-3x)e^x.$$
• 通解：$$u(x,y)=h(y-3x)e^x$$，其中 $$h$$ 是任意函数。
• 应用初始条件 $$u{|}_{x=0}=y$$：
  $$u(0,y)=h(y-3\cdot 0)e^0=h(y)=y.$$
  所以 $$h(y-3x)=y-3x$$。
• 特解（满足初始条件）：
  $$u(x,y)=(y-3x)e^x.$$

验证：

• 计算偏导数：
  $$u_x=\frac{\partial }{\partial x}\left[(y-3x)e^x\right]=(y-3x)e^x-3e^x=e^x(y-3x-3),u_y=\frac{\partial }{\partial y}\left[(y-3x)e^x\right]=e^x.$$
• 代入方程：
  $$u_x+3u_y=e^x(y-3x-3)+3e^x=e^x(y-3x-3+3)=e^x(y-3x)=u.$$
• 初始条件：当 $$x=0$$ 时，$$u(0,y)=(y-0)e^0=y$$，满足。

答案

题目要求求通解，但根据上下文（给定初始条件），实际需求的是满足初始条件的特解。通解已在解题过程中给出，最终特解如下：

• 第一个方程组的解：
  $$\boxed{u(x,y)=\frac{1}{2}{x}^2(y-x)}$$

• 第二个方程组的解：
  $$\boxed{u(x,y)=(y-3x)e^x}$$

如果需要通解：

• 第一个方程组的通解：$$u(x,y)=\frac{1}{2}{x}^{2}y-\frac{1}{2}{x}^3+g(y-3x)$$，其中 $$g$$ 是任意函数。
• 第二个方程组的通解：$$u(x,y)=h(y-3x)e^x$$，其中 $$h$$ 是任意函数。