勒贝格测度、勒贝格积分

又要接触测度论了。随着随机规划的不断深入，如果涉及到证明部分，测度论的知识几乎不可或缺。

测度论的相关书籍，基本都非常艰涩难读，对于非数学专业出身的人入门非常不易。从十几年前开始，我很难把测度论教材看到超过10页。结合我对 chatgpt 的反复提问，努力理解每一个抽象的知识点，在这篇博客里总结一下吧。

大学课程里面的《高等数学》讲授的是黎曼积分（Riemann Integration），而测度论的核心是勒贝格积分（Lebesgue Integration）：

• 黎曼积分的几何意义是将定义域细分为无数个小区间，将每个小区间的面积（小区间的宽度乘以高度，高度为函数值）加起来
• 勒贝格积分的几何意义是将值域细分为无数个小区间，将每个小区间的面积（小区间的面积通过构造一个函数逼近）乘以对应的权重（这个权重就是勒贝格测度）加起来。

例如下图，上图为黎曼积分，下图为勒贝格积分：

之所以要用勒贝格积分，是因为有时候黎曼积分对一些复杂的函数进行积分，例如下面这个函数：
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}1& x\in \mathbb{Q}\\ 0& x\in \mathbb{R}\backslash \mathbb{Q}\end{array}$$

这个函数在有理数上为1，在无理数为 0，无法用黎曼积分。

在引入勒贝格积分之前，先看看什么是勒贝格测度。

1. 勒贝格测度

勒贝格测度（Lebesgue measure）是用来精确地“测量”集合的大小的一种工具。

• 传统的测度中，我们可以测量长度（一维空间），面积（二维空间），体积（三维空间）等。

但是对于一些集合，尤其是不连续的或者非常奇怪的，该如何去测量这个集合呢？例如，有理数的集合 $\mathbb{Q}$ 的测度是多少？就有了勒贝格测度。

• 一个勒贝格可测集合的勒贝格测度实质是指该集合的外测度

1.1 勒贝格可测集合

勒贝格测度通常定义在实数集上，一个集合 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 若是勒贝格可测，必须满足以下条件：

• 将任意集合分成两部分：一部分落在 $A$ 内，另一部分落在 $A$ 外。这两个部分的测度加起来正好等于原集合的测度，没有丢也没有重叠。

换句话说，若一个集合在测度上不“扭曲”别的集合，那么该集合就是勒贝格可测的。

用数学的语言表示就是：

一个集合 $A\subset {\mathbb{R}}^n$ 是勒贝格可测的，如果对于任意集合 $E\in {\mathbb{R}}^n$，都有：
$${\lambda }^{\ast }(E)={\lambda }^{\ast }(E\cap A)+{\lambda }^{\ast }(E\cap \overline{A})$$

其中，${\lambda }^{\ast }$ 表示外测度。一个集合外测度的几何意义是：

• 用最紧的胶带包裹集合中的每一个元素，所使用的胶带的总长度。

在数学意义上，这个胶带是开区间，而胶带的长度表示这个开区间的体积：一维空间上为长度，二维空间为面积，三维空间为体积等等。

外测度的标准数学定义：

对于任意集合 $A\subset R^n$，它的外测度 ${\lambda }^{\ast }$ 为
$${\lambda }^{\ast }(A)=\inf \left(\sum _{i=1}^{\infty }\text{vol}(I_i)\mid A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }{I}_i\right)$$

其中，$\text{vol}(I_i)$ 表示开区间 $I_i$ 的体积。

• 所有开集、闭集、半开半闭集都是勒贝格可测的。

• 所有 Borel 集合（所有 ${\mathbb{R}}^n$ 中的开集及它们的可数并、可数交、补集，也称为 $\sigma$-代数）都是可测的。

• 所有零测集都是勒贝格可测的。

• 所有可数集合都是勒贝格可测的（有理数集合 $\mathbb{Q}$ 是可数的）。

一个集合可数表示这个集合的所有元素都可以用自然数给它编号，可以有无限多个元素，例如有理数集合 $\mathbb{Q}$

其实，常见的集合都是勒贝格可测的，不可测的集合反而比较少。我见不可测的集合例子都是专门构造的，例如 Vitali 集合（这个集合是无数个[0, 1]内不相交开集的并，因为每个开集的界限都是无理数，导致每个开集都无法测量长度）

1.2 勒贝格可测函数

定义在实数集上的函数 $f$，被称作勒贝格可测函数，是指
对于任意实数 α ∈ R , { x ∣ f ( x ) > α } 为勒贝格可测集合 \text{对于任意实数} \alpha \in\mathbb{R}, \{x\mid f(x)>\alpha\} \text{为勒贝格可测集合} 对于任意实数α∈R,{x∣f(x)>α}为勒贝格可测集合

下函数都是勒贝格可测的:

• 连续函数，包括分段连续函数
• 勒贝格可积函数，即该函数的勒贝格积分不是无穷
• 指示函数，也称特征函数：若 $x$ 在某个集合内，函数值为 1，否则函数值为 0
• 若离散函数在定义域内的每个点都是勒贝格可测集，则该离散函数是可测函数（此时离散函数是可数个指示函数的加和）
• 单调函数

1.3 勒贝格可积函数

某个测度空间上的函数 $f(x)$ 勒贝格可积，需要满足两个条件：

• 该函数 $f(x)$ 是勒贝格可测函数
• 该函数的积分不是无穷，即 $\int |f|dx<\infty$

2. 勒贝格积分

勒贝格积分是“从下逼近”的思想：

• 把函数用一堆非负简单函数从下逼近，然后用集合的勒贝格测度来加权求和，是一种更“集合论”的积分方式，适用于更广泛的函数和空间。

非负简单函数 是指形如下面的函数：
$$\varphi (x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{1}_{E_i}(x)$$
其中：

• $a_i$ 是一个大于 0 的常数或函数值
• $1_{E_i}(x)$ 表示集合 $E_i$ 的指示函数
• 每个集合 ${\chi }_{E_i}(x)$ 是勒贝格可测集，互不重叠

勒贝格积分的定义针对的是一个非负函数：

设 $f\ge 0$ 是一个可测函数，定义它的勒贝格积分为
$$\int fd\mu :=\sup \left\{\int \varphi d\mu \mid 0\le \varphi \le f,\varphi \text{ 是简单函数}\right\}$$
其中，$\mu$ 为测度，可以为勒贝格测度、概率测度、计数测度等。

对于一般的函数，即可能有负值的函数，则转化为两个非负函数相减：
$$\int fd\mu =\int f^{+}d\mu -\int f^{-}d\mu$$

其中， f + ( x ) = max ⁡ { 0 , f ( x ) } f^+(x)=\max\{0, f(x)\} f+(x)=max{0,f(x)}, f − ( x ) = max ⁡ { 0 , − f ( x ) } f^-(x)=\max\{0, -f(x)\} f−(x)=max{0,−f(x)}.

举例：利用勒贝格求积分

$${\int }_0^1{x}^{2}d\mu (x)$$
其中，$\mu$ 为勒贝格测度，对于这个问题表示长度。

• 第一步，构造一个从下逼近 $f(x)$ 的简单函数序列
  $${\varphi }_k(x)=\sum _{k=1}^n\frac{(k-1{)}^2}{n^2}{1}_{(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]}(x)$$

这个简单函数表示把 [0, 1] 划分为 n 个等长区间，第 k 个小区间为 $(\frac{k-1}{n},\frac{k}{n}]$，对应的值为 $\frac{(k-1{)}^2}{n^2}$.

• 第二步，计算勒贝格积分
  $$\begin{array}{rl}{\int }_0^1{x}^{2}d\mu (x)=& \underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{(k-1{)}^2}{n^2}\times \frac{1}{n}\\ =& \underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n(n-1)(2n-1)}{6n^3}\\ =& 1/3\end{array}$$

这个与黎曼积分的结果一致。

3. 勒贝格积分的单调保持性质

勒贝格积分有一个单调保持性质¹，大致意思是：若一个函数在样本空间中的每一个样本中都大于等于另外一个函数，那么它们的勒贝格积分仍然有同样的大小关系。

更严谨的表达为：

$(X,\mathcal{F},\mu )$ 为一个概率空间²，函数 $f$ 与 $g$ 是 $X$ 上的一个可积函数，如果对于 $X$ 中的任何一个元素 $x$，都有 $f(x)\le g(x)$，那么
$$\int fd\mu \le \int gd\mu$$

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1. Cohn, D. L. (2013). Measure theory (Vol. 2). New York: Birkhäuser, pp: 57. ↩︎

2. 概率空间的介绍参看我的另一篇博客 ↩︎