有N个控制点的三次B样条曲线转化为多段三阶Bezier曲线的方法

将具有N 个控制点的三次B样条曲线转换为多段三阶Bezier曲线，是计算机图形学和CAD系统中常见的操作。这种转换基于B样条曲线的局部性质以及其与Bezier曲线之间的关系。

基本原理

三次B样条曲线由一组控制点 P₀, P₁, ..., Pₙ₋₁ 和一个节点向量 U = {u₀, u₁, ..., uₘ} 定义，其中 m = N + k + 1 = N + 4（对于三次样条，次数 k=3）。每一段B样条曲线在非重复节点区间上可以被表示为一段三阶Bezier曲线。

关键在于：在每个非重复的节点区间 [uᵢ, uᵢ₊₁) 上，B样条曲线的一段可以通过局部细分（例如使用Boehm's算法或插入节点）转化为一段Bezier曲线。具体地，当节点向量是均匀或开放均匀的情况下，可以通过提取每段的控制点来直接获得对应的Bezier控制点。

转换步骤

1. 确保节点向量为开放均匀节点向量（Open Uniform Knot Vector）

   开放均匀节点向量的形式为：

   u₀ = u₁ = u₂ = u₃ = 0, u₄, u₅, ..., uₙ₋₁, uₙ = uₙ₊₁ = uₙ₊₂ = uₙ₊₃ = 1

   其中内部节点 u₄ 到 uₙ₋₁ 是均匀分布的。

2. 确定B样条段的数量

   对于开放均匀节点向量，有效的B样条段数量为 N - 3。每个段对应一个三阶Bezier曲线。

3. 提取每段的Bezier控制点

   对于第 i 段（i 从 0 到 N-4），其对应的三阶Bezier曲线的控制点 B₀^(i), B₁^(i), B₂^(i), B₃^(i) 可以通过以下公式计算：

   B₀^(i) = Pᵢ
   B₁^(i) = Pᵢ + (Pᵢ₊₁ - Pᵢ) × (uᵢ₊₄ - uᵢ₊₃) / (uᵢ₊₄ - uᵢ₊₁)
   B₂^(i) = Pᵢ₊₂ - (Pᵢ₊₂ - Pᵢ₊₁) × (uᵢ₊₂ - uᵢ₊₁) / (uᵢ₊₄ - uᵢ₊₁)
   B₃^(i) = Pᵢ₊₃

   在均匀节点情况下，uᵢ₊₄ - uᵢ₊₃ = uᵢ₊₃ - uᵢ₊₂ = uᵢ₊₂ - uᵢ₊₁ = Δu，因此可以简化为：

   B₀^(i) = Pᵢ
   B₁^(i) = (3Pᵢ + Pᵢ₊₁) / 4
   B₂^(i) = (Pᵢ₊₁ + 3Pᵢ₊₂) / 4
   B₃^(i) = Pᵢ₊₃

   注意：上述简化公式仅适用于均匀节点向量且无重节点的情况。

4. 生成多段Bezier曲线

   每一段 i 的控制点 B₀^(i), B₁^(i), B₂^(i), B₃^(i) 定义了一个三阶Bezier曲线：

   B^(i)(t) = (1-t)³B₀^(i) + 3(1-t)²tB₁^(i) + 3(1-t)t²B₂^(i) + t³B₃^(i), t ∈ [0,1]

   将所有段连接起来，即可得到完整的B样条曲线的Bezier表示。

总结

通过上述方法，可以将一个N个控制点的三次B样条曲线分解为 N-3 段三阶Bezier曲线。这种方法在需要Bezier曲线特性的应用中非常有用，例如在某些渲染引擎或动画系统中。