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考研408《计算机组成原理》复习笔记，第二章(2)数值数据的表示和运算（浮点数篇）

ds 2025/5/16 9:38:14

一、回顾定点数知识点

——定点小数机器码表示

——定点整数机器码表示

——【原码】和【移码】的作用

二、浮点数表示

1、概念引入

我们生活中有很多 “带小数”，也就是浮点数，也就是【整数部分】和【纯小数部分】都不为0，那么这样的小数是不可以按之前【定点数】的形式表达的，如下图：

定点数的小数点是固定死的，这样就不够灵活，无法应对对整数或小数要求高精度的表达方式

我们有时会有对整数或小数单独要求高精度的需求

所以我们希望小数点是可以浮动的，并不是固定在最左或最右，而小数点的位置和正负号这些规则都能按照一个规则来计算出来

那么我们希望用专门的浮点数表示规则来表示【浮点数】

于是参考十进制表示浮点数的形式，小数点可以浮动，【一个带小数 * 10的不同幂次】可以表示一个浮点数（即数学里的 “科学计数法”！！）

我们会发现：当小数点往左移动一位(整数变小)，为了保证原数值不变，就要乘一个2；小数点往右移(整数变小)，为了保证数值不变，就要除一个2；

简而言之：2的次幂对于小数点的移动是【左加右减】(不用自己算，知道就行，例子如下)

2、二进制浮点数的“科学计算法”公式

那么我们得出了【二进制表示浮点数】的公式：

我留意到网上大部分公式都是这样，这其实是简化的公式，没有考虑正负号的（了解有这么回事就行，不然会像我一开始发现负数对不上这个公式而懵逼。。。）

（忽略正负符号的形式）

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实际上，准确的公式应该是

（不忽略正负符号的准确形式）

解释：

N：浮点数真值
S：是整个浮点数的符号，正数S=0、负数S=1
M：尾数，即0.11 * 2^2、1.1 * 2^1、11 * 2^0......红色部分(非正式数，仅作例子)
通常是一个定点整数，用原码表示
但是不管是普通浮点数还是后面学的IEEE754浮点数，整数部分都会被规定死是一个约定好的数(普通浮点数，整数那就是0；IEEE754浮点数，整数那就是1)，所以也没必要存它，大家都心知肚明这是什么数（具体规则后面会解释）
结论：所以【M(尾数)】实际只由【小数部分】代表

R^E：阶数，即0.11 * 2^2、1.1 * 2^1、11 * 2^0......黄色部分(非正式数，仅作例子)
其中R是基数，二进制通常都是2，所以大家都知道R=2就没必要存它了(有时也会约定为2、4、16，但正常情况都是2)
E是阶码或指数，这是不定的，所以要存储（通常是一个定点小数，用移码表示）
结论：所以【阶数】实际上也只由【E阶码(或指数)】代表

（暂时忽略符号）

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总结：

1、N= (-1)^S × M × R^E ————> 真值 = (-1)正负号 × 尾数 × 阶数
2、实际尾数只用【尾数的小数部分】表示
3、实际阶数只用【阶数的指数部分】表示

3、浮点数机器码规则

1）浮点数机器码的组成

那么实际的机器码是如何表示刚刚的公式的？

1、三部分：【整个浮点数的符号位】+【阶码】+【尾码】
2、其中【阶码】包含了【阶符 (阶数的正负号)】和【阶数 (切记只是指数部分)】
3、其中【尾码】就是【尾数 (切记，只是是小数部分)】

（这里可能会有人不理解，为什么在尾数后面补0？之前【零扩展】和【符号扩展】不都是在前面补0吗？因为tmd这尾数是【小数部分】啊，小数部分后面补0和原来的值有什么区别？？？）

2）求阶码的公式

但是这里需要重点注意【阶码】部分，【阶码】不只单纯是原来阶数的值

我们前面学过【移码】，【浮点数的阶码】就是用【移码】表示

（因为其他码会让机器在比较大小时误认为负数大于正数，而移码可以明确比较正数值大于负数值，不理解的看我之前的文章：考研408《计算机组成原理》复习笔记，第三章数值数据的表示和运算（定点数篇）-CSDN博客，也不是重要知识点）

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那么牢记这两个公式：

并且注意，全部按照 “无符号数形式” 去计算

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例子1：

阶码是7位，则阶码的真值7-1=6位，应该是【偏置值 = 2^6 =64】

3）浮点数和真值之间转换

根据这个公式就可以推导浮点数转换

【浮点数真值——>浮点数机器码】

假设条件：

32位的浮点数，其中阶码7位，尾数24位

真值是：-0.011001000000000000000000

【浮点数机器码——>浮点数真值】

假设条件：

32位的浮点数，其中阶码7位，尾数24位

机器码是：1 10101111 011001000000000000000000

4）浮点数机器码可表示范围

如何理解上面的范围，看下面例子解释：

以 “32位的浮点数，其中阶码7位，尾数24位” 为例子

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首先前提知识点：我们知道N位的定点整数数部分连续全是1的话，其值就是【2^N-1】;而N位的定点小数如果后面连续全是1的话，其值就是【1-2^-N】，比如0.111就是1-2^-3=0.875

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1、先看【正数】情况

最大值

（当然【阶码真值】你也可以按【移码最大值2^(N-1)-1】求得）

最小值

（当然【阶码真值】你也可以按【移码最小值-2^(N-1)】求得）

溢出

正数部分超出最大值叫正上溢、超出最小值的范围是正下溢，正下溢部分一般直接当作0处理；正上溢部分后面讲规格化的时候才会涉及，暂时不说

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2、再看负数，知道正数范围就可以推负数范围了

最大值

最小值

溢出

负数部分超出最小值叫负上溢、超出最大值的范围是负下溢，负下溢部分一般直接当作0处理（正下溢和负下溢都称 “下溢”）；正上溢部分后面讲规格化的时候才会涉及，暂时不说（正上溢和负上溢都叫 “上溢”）

4、普通浮点数规格化

1）为什么规格化

那么我们前面我们在研究浮点数真值和机器码转换的时候反复提到，知道【尾码】就默认知道【尾数】是【0.尾码】，整数部分固定是0，究竟有什么道理？

首先十进制的最正确的科学计数法应该是【整数部分只有1位】，二进制也是

然后尾数的位数决定了浮点数的有效数位，假设只能保留有限的几位小数的话，那么肯定是非零的小数部分保留的越多，精度越高。所以为了让有效数位占满尾数数位，我们必须进行规格化。

2）怎么规格化

规格化就是通过调整【阶码】和【尾码】，使得一个非零的浮点数在【尾数的最高位上】是一个有效数值！

具体措施：【左规】和【右规】

左规就是整数和小数点不动，小数部分往左移（其实就是小数点往后移位）

右规就是整数和小数点不动，小数部分往右移（其实就是小数点往前移位）

规格化后的机器码尾码是啥样的？

补充：不同基数r，会导致不同的规格化

3）例题

5、IEEE 754规范

1）表示规则

但是那帮研究计算机的逼养的还是不爽啊，就非还要在整一些新的规则出来，好嘛没办法，最后IEEE754这套浮点数规范就是一直沿用至今的一套规范。

他要求就两种浮点数表示法：

1、单精度浮点数Float
4字节 (32位)，其中1符号位、8阶码位、23位尾码（记牢了！！！！）
【偏置值】：2^(8-1)-1 = 127位（区分一下，普通浮点数是2^(N-1) ）

2、双精度浮点数Double
8字节 (64位)，其中1符号位、11阶码位、52位尾码（记牢了！！！！）
【偏置值】：2^(11-1)-1 = 1023位（区分一下，普通浮点数是2^(N-1) ）

留意和【普通浮点数】的区别：

1、同样位数的阶码条件下，【IEEE754】的【偏置值】比【普通浮点数】的【偏置值】偏置值多1，而且IEEE754的移码的【全1】和【全0】有别的用途，阶码不能用这两（下图是32位的单精度的阶码例子）

2、普通浮点数在规格化后也只是尾数最高位是1，而IEEE754浮点数要求是整数部分是1！！！

（没什么办法去理解，很无奈我本人也看遍了全网所有视，没有一个解释清楚的，只能死记硬背。。。。。。）

2）IEEE754浮点数机器码和真值的转换

【浮点数机器码——>浮点数真值】

【浮点数真值——>浮点数机器码】

3）IEEE754浮点数机器码可表示范围

解释：

只以单精度为例子，注意这里【阶码】我就不按普通浮点数那么细致地用偏置值算了，直接用【移码】可表示地最大最小值来推导即可

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【规格化情况】：整数部分是1，值 = 1 + 小数部分

【正数情况】

1、最小值（阶码是： - (移码最小值绝对值-2) ）

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2、最大值（阶码是：移码最大值）、

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【负数情况】

没什么好说的，【负数最小值】就是【 - 正数最大值】，【负数最大值】就是【- 正数最小值】，加个负号的事

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【非规格化情况】：

1、整数部分为0，值 = 0 + 小数部分
2、阶码全0，尾码不全为0
3、偏置值是126（别问为啥那么，我tm也不知道，全网没人讲为什么，只能死记硬背）

【正数情况】

1、最大值

2、最小值

【负数情况】

没什么好说的，【负数最小值】就是【 - 正数最大值】，【负数最大值】就是【- 正数最小值】，加个负号的事

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