2025年数学建模国赛B题超详细解题思路

B题  碳化硅外延层厚度的确定

问题背景

碳化硅作为一种新兴的第三代半导体材料，以其优越的综合性能表现正在受到越来越多的关注。碳化硅外延层的厚度是外延材料的关键参数之一，对器件性能有重要影响。因此，制定一套科学、准确、可靠的碳化硅外延层厚度测试标准显得尤为重要。

红外干涉法是外延层厚度测量的无损伤测量方法，其工作原理是，外延层与衬底因掺杂载流子浓度的不同而有不同的折射率，红外光入射到外延层后，一部分从外延层表面反射出来，另一部分从衬底表面反射回来（图1），这两束光在一定条件下会产生干涉条纹。可根据红外光谱的波长、外延层的折射率和红外光的入射角等参数确定外延层的厚度。

通常外延层的折射率不是常数，它与掺杂载流子的浓度、红外光谱的波长等参数有关。

物理背景理解：碳化硅外延层厚度测量基于红外干涉法，核心原理是利用外延层与衬底的折射率差异产生的光学干涉现象。当红外光入射到外延层时，会在不同界面产生反射和透射，这些反射光束相互干涉形成特征光谱，通过分析光谱特征可以反推外延层厚度。

数据预处理

表1

问题1分析：单次反射透射干涉模型

问题1：如果考虑外延层和衬底界面只有一次反射、透射所产生的干涉

1.1 物理模型建立思路

1、光路分析：

入射光线经过空气-外延层界面时，产生第一次反射（反射率r₁）和透射（透射率t₁）

透射光线在外延层中传播，到达外延层-衬底界面时，产生第二次反射（反射率r₂）和透射

第二次反射光线返回外延层表面，再次透射到空气中

这两束反射光（直接反射光和经过外延层往返的反射光）产生干涉

关键物理参数：外延层厚度：d（待求参数）、外延层折射率：n₁（与载流子浓度、波长相关）、衬底折射率：n₂、入射角：θ₀、红外光波长：λ（或波数ν̃）

2、干涉条件分析：

（1）光程差计算：考虑光线在外延层中的往返路径

（2）相位差计算：包括传播相位差和反射相位差

（3）干涉强度：根据两束光的振幅和相位关系

1.2 数学模型构建思路

1、几何光学分析：

（1）根据斯涅尔定律确定各界面的折射角

（2）计算光线在外延层中的传播路径长度

（3）建立光程差与厚度d的关系

1.3 模型验证思路

（1）检查极限情况（d→0, d→∞）的物理合理性

（2）验证干涉周期与理论预期的一致性

（3）考虑模型假设的适用范围

表2

误差范围：在所有的测试厚度（5 μm, 10 μm, 15 μm, 20 μm, 25 μm）上，误差都控制在非常低的范围内，最高误差仅为 0.04%，最小误差为0.00%。总体平均误差仅为0.02%，这表明你的算法在估算厚度方面非常准确。误差的标准差也很小，最大为0.03%，这说明不同测试之间误差的波动非常小，结果一致性高。

问题2分析：设计算法确定外延层厚度

问题2：请问题1 的根据数学模型，设计确定外延层厚度的算法。对附件 1 和附件 2 提供的碳化硅晶圆片的光谱实测数据，给出计算结果，并分析结果的可靠性。

通过反射率数据的处理、干涉条纹的分析、极值点的检测和干涉模型拟合，估算了碳化硅外延层的厚度，并提供了结果的可靠性评估和不确定度分析。通过自动处理不同入射角的数据，通过多个分析步骤确保结果的准确性。

2.1 算法设计总体思路

1、数据预处理：

（1）读取附件1、2中的波数和反射率数据

（2）数据平滑去噪：可能需要移动平均或低通滤波

（3）异常值检测和处理

2、特征提取方法：

2.1 极值点识别法：

（1）寻找反射率的局部最大值和最小值

（2）分析极值点对应的波数位置

（3）建立极值点间距与厚度的关系

2.2 傅里叶分析法：

（1）对反射率曲线进行傅里叶变换

（2）识别主导频率分量

（3）从频谱特征推算厚度

2.3 拟合优化法：

（1）基于问题1的理论模型

（2）以厚度d为优化变量

（3）最小化理论曲线与实测数据的误差

2.2 参数确定策略

1、折射率处理：

（1）如果折射率未知，需要同时优化n₁和d

（2）利用两个不同入射角的数据提供额外约束

（3）考虑折射率的波长色散关系

2、多参数优化：

（1）目标函数设计：最小二乘法、最大似然估计等

（2）优化算法选择：梯度下降、遗传算法、模拟退火等

（3）参数初值设定和收敛性分析

2.3 结果可靠性分析思路

1、一致性检验：

（1）对比10°和15°入射角的计算结果

（2）分析结果差异的原因和可接受范围

2、敏感性分析：

（1）分析厚度计算对各参数变化的敏感程度

（2）评估测量误差对结果的影响

3、物理合理性检验：

（1）检查计算结果是否在合理的厚度范围内

（2）验证折射率值是否符合材料特性