数学：学好数学需要对数系进行系统的对比和分析

数系范围：自然数通常是从 0 或 1 开始，用于计数的数，然后整数包括正负和零，有理数是分数，实数包括无理数，复数引入虚数单位。

运算性质：比如是否满足加法、乘法的封闭性，是否有逆元，是否有序，完备性等。

结构对比：比如代数结构，比如自然数是半群，整数是环，有理数是域，实数是完备的有序域，复数是代数闭域。还要考虑每个数系的扩展原因，比如自然数不够减所以有整数，整数不够除有有理数，有理数有漏洞所以有实数，实数解不了方程 x²+1=0 所以有复数。

表示方式：比如自然数用阿拉伯数字，有理数是分数，实数可能是无限小数，复数是 a+bi。

应用场景，比如自然数用于计数，整数用于债务，有理数用于分割，实数用于度量，复数用于电学、信号处理等。

其它数系：比如四元数、超复数，超实数

关键点，比如自然数的两种定义（是否包含 0），整数的环结构，有理数的域结构，实数的戴德金分割或柯西序列构造，复数的几何表示等。并且需要对比它们的子集关系，比如自然数⊂整数⊂有理数⊂实数⊂复数，每个扩展都是包含前一个的。

实数的严格定义到 19 世纪才完成，复数刚开始被质疑后来被接受。

数系是数学中最基础的概念之一，其发展历程反映了数学从具体到抽象、从有限到无限的演进。以下从定义、结构、性质、扩展动机、应用等多个维度对数系进行详细对比，涵盖自然数、整数、有理数、实数和复数五大核心数系，并简要提及超复数等扩展。

一、数系的定义与构造

1. 自然数（$\mathbb{N}$）

• 定义：用于计数和排序的数，通常有两种定义：
  • 包含0： N = { 0 , 1 , 2 , 3 , …   } \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} N={0,1,2,3,…}（现代集合论定义，如皮亚诺公理以0为起点）；
  • 不包含0： N = { 1 , 2 , 3 , …   } \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} N={1,2,3,…}（传统计数起点）。
• 构造：基于皮亚诺公理，通过“后继函数”定义：0的后继是1，1的后继是2，依此类推。
• 示例：0, 1, 2, 100, 1000等。

2. 整数（$\mathbb{Z}$）

• 定义：包含自然数、其相反数及0的数集，即 Z = { … , − 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , …   } \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} Z={…,−2,−1,0,1,2,…}。
• 构造：通过自然数对$(a,b)$定义，其中$(a,b)$表示$a-b$，等价类划分后形成整数（如$(3,5)$对应$-2$）。
• 示例：-5, 0, 10, -100等。

3. 有理数（$\mathbb{Q}$）

• 定义：可以表示为两个整数之比的数，即$\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\mid p,q\in \mathbb{Z},q\ne 0\right\}$，约分后分子分母互质。
• 构造：通过整数对$(a,b)$定义，其中$(a,b)$表示$\frac{a}{b}$，等价类划分后形成有理数（如$(2,4)$与$(1,2)$等价）。
• 示例：$\frac{1}{2}$, $-\frac{3}{4}$, 5（即$\frac{5}{1}$），0.25（即$\frac{1}{4}$）。

4. 实数（$\mathbb{R}$）

• 定义：包含有理数和无理数的数集，可表示为无限小数（有限小数视为末尾全为0的无限小数）。
• 构造：
  • 戴德金分割：将有理数集分为两个非空子集$A$和$B$，满足$A$中所有数小于$B$中所有数，若$A$无最大值且$B$无最小值，则分割定义一个无理数（如$\sqrt{2}$对应分割 { x ∈ Q ∣ x 2 < 2  或  x < 0 } \{x \in \mathbb{Q} \mid x^2 < 2 \text{ 或 } x < 0\} {x∈Q∣x2<2 或 x