拆解GCN（Graph Convolutional Network）单层迭代公式
用5个节点（每个节点10维特征）为例，详细拆解GCN（Graph Convolutional Network）单层迭代公式中各矩阵的维度和计算过程。GCN公式为：
1. 各矩阵的维度定义
假设你的场景是：
- 节点数：5个（例如5个路口/传感器）
- 每个节点特征维度：10维（例如车流量、速度等10个特征）
- 第 l 层的输出特征维度：假设为20维（可自定义）
(1) 邻接矩阵 A
- 维度：5×5
- 含义：描述节点间的连接关系。
(2) 单位矩阵 I
- 维度：5×5
- 含义：对角线为1，其他为0。添加自环后，每个节点会连接到自身。
(3) 添加自环后的邻接矩阵 A^=A+I
- 维度：5×5
(4) 度矩阵 D^
- 维度：5×5
- 含义：对角矩阵，对角线元素是每个节点的度数（即连接的边数）。
-
(5) 节点特征矩阵 H(l)
- 维度：5×10
- 行数：5（节点数）
- 列数：10（每个节点的特征维度）
(6) 权重矩阵 W(l)
- 维度：10×20
- 输入维度：10（与 H(l) 的列数一致）
- 输出维度：20（自定义，决定下一层的特征维度）
2. 公式计算步骤的维度变化
我们逐步计算 H(l+1) 的维度：
(1) 计算 H(l)W(l)
- 输入：H(l)（5×10） × W(l)（10×20）
- 输出：5×20
（矩阵乘法规则：(5×10)×(10×20)=5×20）
(2) 计算归一化的拉普拉斯矩阵 D^−21A^D^−21
- 维度：5×5
（所有矩阵都是5×5，结果仍为5×5）
(3) 聚合邻居信息
- 输入：D^−21A^D^−21（5×5） × H(l)W(l)（5×20）
- 输出：5×20
（矩阵乘法规则：(5×5)×(5×20)=5×20）
(4) 激活函数 σ
- 输入：5×20
- 输出：5×20（激活函数不改变维度）
3. 最终输出 H(l+1) 的维度
- 维度：5×20
（与下一层的输入特征维度一致）
4. 维度总结
| 矩阵/操作 | 维度 | 说明 |
|---|---|---|
| 邻接矩阵 A | 5×5 | 原始节点连接关系 |
| 单位矩阵 I | 5×5 | 添加自环 |
| 自环邻接矩阵 A^ | 5×5 | A+I |
| 度矩阵 D^ | 5×5 | 对角矩阵，对角线为节点度数 |
| 特征矩阵 H(l) | 5×10 | 第 l 层的输入特征 |
| 权重矩阵 W(l) | 10×20 | 将特征从10维映射到20维 |
| 输出 H(l+1) | 5×20 | 第 l+1 层的输出特征（激活函数后） |
5. 关键理解点
- 邻接矩阵 A^ 的作用：定义节点间的连接关系，控制信息传播范围。
- 度矩阵 D^ 的作用：归一化邻接矩阵，防止节点度数不同导致特征缩放不均。
- 权重矩阵 W(l) 的作用：学习特征变换，决定下一层的特征维度。
- 激活函数 σ：引入非线性，增强模型表达能力。