Matlab中的积分——函数int()和quadl()

int() 和 quadl() 是 MATLAB 中用于完成不同任务的两个函数，它们的核心区别在于：符号积分 与 数值积分。

一、核心概念和区别

二、示例

1. int() - 符号积分
   int() 用于求解析解。它可以计算不定积分和定积分。

示例 1：不定积分

syms x;          % 声明符号变量 x
f = x^2;         % 创建符号表达式
F = int(f, x)    % 对 x 求不定积分

输出：

F = x^3/3

示例 2：定积分

syms x;
f = sin(x);
a = 0;
b = pi;
I = int(f, x, a, b) % 计算 sin(x) 从 0 到 π 的定积分

输出：

I = 2

（注意：这里的 2 是一个符号数字，是精确值）。

2. quadl() - 数值积分
   quadl() (Lobatto Quadrature) 用于求定积分的数值近似。它使用自适应洛巴托求积法。它的现代替代品是 integral()（推荐使用），但 quadl() 的原理是一样的。

示例：计算相同的定积分

% 首先定义一个函数句柄（匿名函数）
f = @(x) sin(x);
a = 0;
b = pi;
I_numeric = quadl(f, a, b)

输出：

I_numeric = 2.0000

（注意：这是一个数值近似值，非常接近 2，但内部是通过在多个点上计算 sin(x) 并加权求和得到的）。
重要提示： 在现代 MATLAB 中，建议使用 integral() 代替 quadl()。integral() 是一个更通用、更强大的数值积分函数，通常更精确、更高效。

f = @(x) sin(x);
I_better = integral(f, a, b) % 首选方法

三、如何选择

根据你的目标来决定使用哪个函数：

使用 int() 当：

• 你需要积分的精确解析表达式（例如，x^3/3）。

• 你需要进行理论推导，或者结果需要用于后续的符号计算。

• 你想知道一个函数的不定积分（原函数）是什么。

使用 quadl() 或（更好是）integral() 当：

• 你只需要一个数字作为结果。

• 你要积分的函数没有解析解（例如，exp(-x^2)）。

• 你的函数是由实验数据、仿真或其他数值方法定义的，没有简单的数学形式。

• 计算速度很重要，并且你不需要绝对的数学精度（数值方法的误差通常足够小，可以满足工程和科学应用）。

简单来说，int() 告诉你“答案是什么”，而 quadl()/integral() 告诉你“答案大约是多大”。