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层次分析法

ai 2025/9/1 8:29:48

一.介绍

一种系统性的，多准则的分析方法，将复杂的问题分解为不同的层次结构，通过两两比较和判断，来确定各要素的相对重要性，并为最终决策提供定量依据

将问题分解为目标层、准则层和方案层

示例：选择最佳的旅游地

从层次结构模型的第二层开始，对于从属于上一层每个因素的同一层诸因素，采用两两比较的方法，使用1-9标度法来构造判断矩阵。

1-9标度法中数值越高表示该因素比另外一个因素更重要（具体上网找）

对于准则层，比较各准则对于目标的重要性（比如最佳目的地，比较景色和费用等的相对重要性）

构造的判断矩阵可能如下：

同理，需要为每个准则下的方案层构建判断矩阵

比如：

注意判断矩阵一般都是行比列的，例如上表格中第2行第3列为5，表示在风景这个准则下，目的地A比目的地B的重要性为5，说明认为目的地A的风景比目的地B的风景更重要（在1-9标度法中为明显重要）

写到这里，笔者就干脆把1-9标度法也写出来了（哈哈哈）

1-9标度法
标度	含义
1	两个元素相比，具有同样的重要性
3	两个因素相比，一个因素比另一个因素稍重要
5	两个因素相比，一个因素比另一个因素明显重要
7	两个因素相比，一个因素比另一个强烈重要
9	两个因素相比，一个因素比另一个因素极端重要
2、4、6、8	上述相邻判断的中间值，表示重要性介于周围两个奇数中间

这一步的目的是计算每一个判断矩阵的权重向量，并检验判断的逻辑一致性

方法有几何平均法、算术平均法、特征向量法

几何平均法：计算判断矩阵每一行元素的几何平均数 $M_{i} = \sqrt[n]{\prod_{j=1}^{n}a_{ij}}$ ，其中 $a_{ij}$ 为判断矩阵的第i行第j列的值。然后对几何平均数向量 $M = (M_{1},M_{2},...,M_{n})^{T}$ 进行归一化处理得到权重 $W_{i} = \frac{M_{i}}{\sum_{j=1}^{n}M_{j}}$ ，得到 $W =( W_{1},W_{2},...,W_{n})^{T}$ 即为该矩阵的权重向量

由于判断矩阵是人为构造的，可能存在逻辑错误，比如A比B重要，B比C重要，C比A重要，但是按照逻辑应该是A比C重要

第一步计算该判断矩阵的最大特征值 $\lambda _{max}$

第二步计算一致性指标 $CI = \frac{\lambda _{max} - n}{n-1}$ ，其中n为判断矩阵的行数

第三步查询平均一致性指标RI，该值通过大量实验得到，是一个定值

第四步计算一致性比率 $CR = \frac{CI}{RI}$ ，当CR<0.1时认为判断矩阵的一致性是可以接受的。反之说明判断矩阵的一致性偏差太大，要重新调整该判断矩阵中的标度值，直到满足一致性检验为止

计算各层元素对系统总目标的合成权重，并进行排序

层次总排序： 从上到下逐层进行。
- 假设准则层C包含m个因素 C₁, C₂, ..., C_m，其对于总目标A的权重分别为 a₁, a₂, ..., a_m。
- 方案层P包含n个方案 P₁, P₂, ..., P_n，它们对于准则C<sub>j</sub>的权重分别为 b_{1j}, b_{2j}, ..., b_{nj} (j=1,2,...,m)。
- 则每个方案P<sub>i</sub>对总目标A的最终权重为：
  W_{P_i} = a₁ * b_{i1} + a₂ * b_{i2} + ... + a_m * b_{im}
- 最终，权重最高的方案即为最优方案。
总排序一致性检验（通常可省略）：
这一般是学术上的严格要求。在实际应用中，如果每个单排序的一致性都已通过（CR<0.1），通常认为总排序也具有满意的一致性