【永磁同步电机数学模型全程推导】【7 转矩方程】

在物理学中，转矩乘转速等于功率，而转速是已知的，所以可以从转矩相关的功率入手进行推导。
电路中输入给电机的总功率与dq轴的功率之和( $u_d{i}_d+u_q{i}_q$)有关，注意此处是输入的总功率，总功率不是全部都用于生成转矩的。

等功率变换

在永磁同步电机数学模型的推导过程中，我们总是希望三个坐标系（abc相、αβ轴、dq轴）的尺度（幅值）是一致的，不仅是电压电流幅值一致，功率的幅值也要一致，这些一致是人为乘以一个系数造成的，完全是为了公式好看、推导方便、代码实现方便，关于等幅值和等功率变换的讲解，可以前往查看【无刷电机FOC进阶基础准备】【04 clark变换、park变换、等幅值变换、等功率变换】。αβ轴和dq轴只差一个不会引起尺度变化的park变换，因此只需要αβ轴和abc相的尺度一致即可。
本系列教程的dq轴电压电流都是等幅值变换得到的，
$$\begin{array}{rl}{u}_d{i}_d+u_q{i}_q=u_{\alpha }{i}_{\alpha }+u_{\beta }{i}_{\beta }=[u_{\alpha },u_{\beta }]\left[\begin{array}{c}{i}_{\alpha }\\ i_{\beta }\end{array}\right]& =(\frac{2}{3}{\mathrm{M}}_{clark}^T\ast \left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]{)}^T\ast \frac{2}{3}{\mathrm{M}}_{clark}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]\\ & =\frac{4}{9}({\mathrm{M}}_{clark}^T\ast \left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]{)}^T\ast {\mathrm{M}}_{clark}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]\end{array}$$

而等功率变换的情况是:
$$(\sqrt{\frac{2}{3}}{\mathrm{M}}_{clark}^T\ast \left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]{)}^T\ast \sqrt{\frac{2}{3}}{\mathrm{M}}_{clark}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]=\frac{2}{3}({\mathrm{M}}_{clark}^T\ast \left[\begin{array}{c}{u}_a\\ u_b\\ u_c\end{array}\right]{)}^T\ast {\mathrm{M}}_{clark}\left[\begin{array}{c}{i}_a\\ i_b\\ i_c\end{array}\right]$$
可以看到，两者相差了$\frac{2}{3}$，因此需要人为乘以$\frac{3}{2}$，使得等幅值变成等功率：
$$P=\frac{3}{2}(u_d{i}_d+u_q{i}_q)$$

转矩方程推导

$u_d$和$u_q$的公式在之前已经推导得到了，在这里代入即可：
$$\begin{array}{rl}P& =\frac{3}{2}(u_d{i}_d+u_q{i}_q)=\frac{3}{2}[(R_s{i}_d+L_d\frac{d{i}_d}{dt}-\omega L_q{i}_q)i_d+(R_s{i}_q+L_q\frac{d{i}_q}{dt}+\omega L_d{i}_d+\omega {\psi }_f)i_q]\\ & =\underset{P_{cu}铜耗}{\underbrace{\frac{3}{2}{R}_s(i_d^2+i_q^2)}}+\underset{磁场速率相关}{\underbrace{\frac{3}{2}(L_d{i}_d\frac{d{i}_d}{dt}+L_q{i}_q\frac{d{i}_q}{dt})}}+\underset{P_{em}电磁功率}{\underbrace{\frac{3}{2}(\omega L_d{i}_d{i}_q-\omega L_q{i}_q{i}_d+\omega {\psi }_f{i}_q)}}\end{array}$$
可以看到，输入功率主要由三部分组成。铜耗$P_{cu}$纯是发热的，不产生转矩；磁场速率相关的也不产生转矩，因为当堵转时dq轴电流变化率为0；只有电磁功率$P_{em}$才产生转矩。
将电磁功率$P_{em}$摘出来，并化简一下，由于此处的$\omega$是电角度，所以写作${\omega }_e$：
$$P_{em}=\frac{3}{2}{\omega }_e({\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q)$$

在物理中，电机转矩相关的功率可以等于转矩乘转速，注意此处是物理转速：
$$P_{em}=T\ast {\omega }_{phy}$$

两个$P_{em}$相等，于是转矩方程就得出了：
$$\begin{array}{rl}T\ast {\omega }_{phy}& =\frac{3}{2}{\omega }_e({\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q)\\ T& =\frac{3}{2}\frac{{\omega }_e}{{\omega }_{phy}}({\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q)\\ & =\frac{3}{2}p({\psi }_f{i}_q+(L_d-L_q)i_d{i}_q)\end{array}$$

其中$p$是极对数。