【数学建模学习笔记】时间序列分析：ARIMA
零基础看懂 ARIMA 模型：从原理到实战
如果你完全没接触过 “时间序列预测”，也不懂复杂公式，这篇会用 “说人话” 的方式帮你搞懂 ARIMA 模型，以及文中代码到底在做什么。
一、先搞懂：ARIMA 是用来干嘛的？
简单说，ARIMA 是一种 “用过去猜未来” 的工具—— 比如用 1985-2021 年的年度销量数据，预测 2022-2026 年的销量，这就是它的核心用途。
生活中很多数据都是 “按时间排的”（比如每月工资、每天气温、每年销量），这些 “按时间顺序排列的数据” 就叫时间序列数据。ARIMA 的作用，就是从这些历史数据里找到规律（比如销量每年都涨一点），再用这个规律推未来。
二、ARIMA 模型的 3 个核心字母是什么意思？
模型名字里的 AR、I、MA，对应 3 个关键步骤，缺一不可：
- AR（自回归）：“自己和自己相关”。比如今年的销量，和去年、前年的销量有关系（去年卖得多，今年大概率也多），AR 就是用过去的销量数据来预测现在。
- I（差分）：“让数据变平稳”。什么是 “平稳”？简单说就是数据没有 “一直涨” 或 “一直跌” 的大趋势（比如房价年年涨，就是不平稳；每天的气温忽高忽低但整体没大趋势，就是平稳）。ARIMA 要求数据必须 “平稳” 才能找规律，所以如果数据不平稳（比如文中的销量一直涨），就用 “差分” 处理（比如用今年销量减去年销量，得到 “每年销量增长额”，这个增长额可能就平稳了）。
- MA（移动平均）：“修正误差”。用 AR 预测时难免有误差（比如实际销量比预测多了 50），MA 就是用过去的误差来修正现在的预测，让结果更准。
所以 ARIMA 的本质是：先把数据变平稳（I），再用过去数据（AR）+ 过去误差（MA）一起预测未来。
三、代码怎么写？（分步骤拆解）
文中的代码是用 Python 实现 ARIMA 预测的完整流程，我们一步一步看，每个步骤都对应 “怎么用 ARIMA 解决问题”：
第一步：准备工作（导入工具 + 数据）
就像做饭前要先准备锅碗瓢盆和食材，这里先 “导入工具”（处理数据、画图、建模型的库）和 “导入数据”（1985-2021 年的销量数据）。
# 导入工具库（不用记，用的时候复制就行）
import numpy as np # 处理数字
import pandas as pd # 处理表格数据
import matplotlib.pyplot as plt # 画图
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA # ARIMA模型
from statsmodels.tsa.stattools import adfuller, pacf, acf # 平稳性检验、相关性分析工具# 导入数据（从网上获取销量表格）
df = pd.read_excel('网上的销量数据文件地址')
df.head() # 查看前5行数据
运行后看到的前 5 行数据是这样的：
| 年份 | 年度销量 |
|---|---|
| 1985 | 100.0 |
| 1986 | 101.6 |
| 1987 | 103.3 |
| 1988 | 111.5 |
| 1989 | 116.5 |
接着做了两个小操作：
- 中文列名转英文：因为 Python 对中文支持没那么好，把 “年份” 改成 “Year”，“年度销量” 改成 “Annual_Sales”，方便后续操作。
- 把 “年份” 设为时间索引：告诉 Python “这是按时间排的数据”，比如 1985 年对应 100.0 的销量，让数据有 “时间属性”。
第二步：平稳性检验（判断数据能不能直接用）
前面说过，ARIMA 要求数据必须 “平稳” 才能找规律。那怎么判断数据平不平稳？文中用了ADF 检验（一种常用的平稳性检测方法），核心看两个结果：
- ADF Statistic（ADF 统计量）：数值越小越好。
- p-value（p 值）：这是关键！如果 p 值＜0.05，说明数据 “平稳”；如果 p 值≥0.05，说明数据 “不平稳”，需要处理。
文中运行结果是：
ADF Statistic: 1.8137710150945194
p-value: 0.9983759421514264
p 值接近 1（远大于 0.05），所以原始销量数据不平稳。这时候就需要用 “差分” 处理（文中建模型时用了 1 阶差分，对应 ARIMA 参数里的 “1”，后面会说）。
第三步：确定模型阶数（选 “最合适的 ARIMA 版本”）
ARIMA 有 3 个关键参数：(p, d, q)，要先确定这 3 个数字，才能建模型：
- p：AR 的阶数（用过去几期数据来预测）。
- d：差分的阶数（需要做几次差分让数据平稳，文中用了 1 次，所以 d=1）。
- q：MA 的阶数（用过去几期误差来修正）。
用ACF 图和 PACF 图来确定 p 和 q（这两个图是判断阶数的常用工具）：
- ACF 图（自相关图）：看数据和过去几期的 “直接相关性”。文中 ACF 图随着滞后步数增加慢慢下降，说明数据有持续的相关性。
- PACF 图（偏自相关图）：看数据和过去几期的 “间接相关性”（去除中间期的影响后）。文中 PACF 图在 “滞后 1 步” 后突然降到接近 0，说明用 “过去 1 期数据” 就够了（p=1）。
结合之前的 “d=1”，再通过其他准则（比如 AIC，越小模型越好），最终确定模型参数是（p=1，d=1，q=1）。
第四步：建模型 + 检验（看模型好不好用）
确定参数后，就可以建 ARIMA 模型了，代码很简单：
# 建ARIMA(1,1,1)模型，用销量数据训练
model = ARIMA(df['Annual_Sales'], order=(1, 1, 1))
model_fit = model.fit() # 训练模型
print(model_fit.summary()) # 查看模型详细结果
运行后会输出一大段结果，重点看两个部分：
- 参数显著性（P>|z|）：看 ar.L1（AR 的参数）和 ma.L1（MA 的参数）的 p 值：
- ar.L1 的 p 值 = 0.002（＜0.05），说明 AR 部分有效。
- ma.L1 的 p 值 = 0.669（＞0.05），说明 MA 部分效果不明显，但整体模型还是可用的。
- 残差检验（Ljung-Box Q 检验）：残差就是 “预测值和实际值的差”。如果残差是 “白噪声”（没有规律的随机波动），说明模型已经把数据里的规律都捕捉到了，模型是好的。文中 Q 检验的 p 值 = 0.69（＞0.05），说明残差是白噪声，模型合格。
第五步：预测未来（用合格的模型猜未来）
模型合格后，就可以预测未来的销量了。文中预测了未来 5 年（2022-2026）的销量：
# 预测未来5步（5年）的销量
forecast = model_fit.forecast(steps=5)
print('预测值:', forecast)
运行结果是：
| 时间 | 预测销量 |
|---|---|
| 2022-01-01 | 282.80 |
| 2023-01-01 | 284.74 |
| 2024-01-01 | 285.85 |
| 2025-01-01 | 286.49 |
| 2026-01-01 | 286.85 |
然后用画图把 “历史数据” 和 “预测数据” 放一起：
- 蓝色线：1985-2021 年的实际销量（一直在涨，但涨得越来越慢）。
- 红色线：2022-2026 年的预测销量（继续涨，但涨幅更小，符合历史规律）。
从图上看，预测趋势和历史趋势一致，说明预测结果靠谱。
四、总结：ARIMA 预测的完整流程（小白也能记）
用 ARIMA 做时间序列预测，其实就 4 步，不管是销量、气温还是工资数据，都可以按这个流程来：
- 准备数据：把数据整理成 “时间 + 指标” 的格式，告诉 Python 这是时间序列数据。
- 平稳性检验：用 ADF 检验看数据平不平稳，不平稳就用差分处理（确定 d 值）。
- 选模型阶数：用 ACF/PACF 图确定 p 和 q 值，得到 ARIMA (p,d,q) 的具体参数。
- 建模型 + 预测：用数据训练模型，检验模型是否合格（残差是不是白噪声），合格了就预测未来。
最后：给小白的小提醒
- 不用死记公式：文中开头的复杂公式是 ARIMA 的数学原理，小白先会用工具（Python 代码）、能看懂结果就行，原理可以慢慢补。
- 关键看结果：判断模型好不好，重点看 p 值（平稳性、参数显著性）和残差检验，这些是 “硬指标”。
- 多练才会熟：第一次看可能觉得绕，但跟着代码跑一遍（比如用自己的数据改改），很快就能上手。