【数据结构】并查集

目录

1. 并查集原理

2. 并查集实现

3. 并查集应用

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1. 并查集原理

在一些应用问题中，需要将n个不同的元素根据某种联系划分成一些不相交的集合。开始时，每个元素自成一个单元素集合，然后按一定的规律将归于同一组元素的集合合并。在此过程中要反复用到查询某一个元素归属于哪个集合的运算。

适合于描述这类问题的抽象数据类型称为并查集(union-findset)。

比如：某公司今年校招全国总共招生10人，西安招4人，成都招3人，武汉招3人，10个人来自不
同的学校，起先互不相识，每个学生都是一个独立的小团体，现给这些学生进行编号：{0, 1, 2, 3,
4, 5, 6, 7, 8, 9}; 给以下数组用来存储该小集体，数组中的数字代表：该小集体中具有成员的个
数。(负号下文解释)

毕业后，学生们要去公司上班，每个地方的学生自发组织成小分队一起上路，于是：
西安学生小分队s1={0,6,7,8}，成都学生小分队s2={1,4,9}，武汉学生小分队s3={2,3,5}就相互认识
了，10个人形成了三个小团体。假设右三个群主0,1,2担任队长，负责大家的出行。

一趟火车之旅后，每个小分队成员就互相熟悉，称为了一个朋友圈，之前每个小队，队长带领队员，我们可以视作一棵树，大家组成的朋友圈就可以视作森林，这个森林就是并查集，即并查集就是森林。

与堆的实现类似，并查集主要通过数组下标表示关系。

现在假设一组数据，我们可以将其映射到数组的每个位置上，数组初始化为-1。

根据小团体的标号，我们就可以将每个人映射到数组中，为了表示数据间的相互关系，现在队员映射到的位置里面存储队长映射位置的下标，同时队长每有一个队员，队长位置存储的值就-1。

最终根据映射关系我们就可以做出上图

从上图可以看出：编号6,7,8同学属于0号小分队，该小分队中有4人(包含队长0，每一个-1就代表一个人)；编号为4和9的同学属于1号小分队，该小分队有3人(包含队长1)，编号为3和5的同学属于2号小分队，该小分队有3个人(包含队长1)。
仔细观察数组中内值分布，可以得出以下结论：

1. 数组的下标对应集合中元素的编号

2. 数组中如果为负数，负号代表根，数字代表该集合中元素个数

3. 数组中如果为非负数，代表该元素双亲在数组中的下标

在公司工作一段时间后，西安小分队中8号同学与成都小分队1号同学奇迹般的走到了一起，两个
小圈子的学生相互介绍，最后成为了一个小圈子：

现在0集合有7个人，2集合有3个人，总共两个朋友圈。同时1内部就要存储其父亲的映射位置，0映射位置存储数据也要变成-7，表示这个集合中共有7个人。

通过以上例子可知，并查集一般可以解决一下问题：

1. 查找元素属于哪个集合
沿着数组表示树形关系往上一直找到根(即：树中中元素为负数的位置)

2. 查看两个元素是否属于同一个集合
沿着数组表示的树形关系往上一直找到树的根，如果根相同表明在同一个集合，否则不在

3. 将两个集合归并成一个集合
将两个集合中的元素合并将一个集合名称改成另一个集合的名称

4. 集合的个数
遍历数组，数组中元素为负数的个数即为集合的个数。

2. 并查集实现

class UnionFindSet
{
public:// 初始时，将数组中元素全部设置为-1UnionFindSet(size_t size): _ufs(size, -1){}// 给一个元素的编号，找到该元素所在集合的名称int FindRoot(int index){// 如果数组中存储的是负数，找到根，否则一直继续while (_ufs[index] >= 0){index = _ufs[index];}return index;}//将两个元素合并到一个集合中bool Union(int x1, int x2){int root1 = FindRoot(x1);int root2 = FindRoot(x2);// 根相同，x1已经与x2在同一个集合if (root1 == root2)return false;// 将两个集合中元素合并_ufs[root1] += _ufs[root2];// 将其中一个集合名称改变成另外一个（改变指向的根）_ufs[root2] = root1;return true;}// 数组中负数的个数，即为集合的个数size_t Count()const{size_t count = 0;for (auto e : _ufs){if (e < 0)++count;}return count;}private:vector<int> _ufs;
};

注：以上的情况仅仅针对可以直接映射到数组的数据，如果针对的数据无法直接映射到数组下标，那么需要先增加一层映射，用来给数据增加编号。

如下图，数据是人名的情况，我们可以先使用map，让数据从0、1、2、3........依次编号。

3. 并查集应用

省份数量

对于这道题目，不管是直接还是间接相连，从并查集的角度出发，只要相连，就意味着节点间存在关系，属于同一个集合中。因此并查集中的集合的个数也就是我们本体中省份的个数。

class Solution {
public:int findCircleNum(vector<vector<int>>& isConnected) {// 手动控制并查集//本体节点天然就可以视作编号，可以直接映射vector<int> ufs(isConnected.size(), -1);// 查找根auto findRoot = [&ufs](int x){while (ufs[x] >= 0)x = ufs[x];return x;};//遍历，根据提供的直接或间接连接的关系将节点合并到同一个集合中for (size_t i = 0; i < isConnected.size(); ++i){for (size_t j = 0; j < isConnected[i].size(); ++j){if (isConnected[i][j] == 1){// 合并集合int root1 = findRoot(i);int root2 = findRoot(j);if (root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}}}//集合个数就是省份的个数int n = 0;for (auto e : ufs){if (e < 0)++n;}return n;}
};

等式方程的可满足性

本题中是要我们根据符号判断是否相悖，我们可以将相等视作两个字母可以合并到一个集合中，如果后续我们判断不相等的字母却在同一个集合中，就说明前后条件是相悖。

/*
解题思路：
1. 将所有"=="两端的字符合并到一个集合中
2. 检测"!=" 两端的字符是否在同一个结合中，如果在不满足，如果不在满足
*/
class Solution {
public:bool equationsPossible(vector<string>& equations) {vector<int> ufs(26, -1);auto findRoot = [&ufs](int x){while (ufs[x] >= 0)x = ufs[x];return x;};// 第一遍，先把相等的值加到一个集合中//因为这里是字母，要通过-'a'才能映射到数组中for (auto& str : equations){if (str[1] == '='){int root1 = findRoot(str[0] - 'a');int root2 = findRoot(str[3] - 'a');if (root1 != root2){ufs[root1] += ufs[root2];ufs[root2] = root1;}}}// 第二遍，如果不相等的字母在一个集合，就说明相悖了// 返回falsefor (auto& str : equations){if (str[1] == '!'){int root1 = findRoot(str[0] - 'a');int root2 = findRoot(str[3] - 'a');if (root1 == root2){return false;}}}return true;}
};