数学运算符号：跨越千年的智慧结晶与文明印记

引言

数学，作为描述宇宙规律、推动人类文明进步的基础性学科，其发展历程始终与运算符号的演进紧密相连。运算符号不仅是数学语言的核心组成部分，更是人类思维从具象到抽象、从繁琐到简洁的伟大飞跃。从古代文明中用文字描述运算的原始形态，到如今全球通用的简洁符号体系，每一个运算符号的诞生都承载着数学家们的智慧，每一次符号的优化都推动着数学学科的突破。本文将以时间为脉络，以文化为视角，全面剖析数学运算符号的起源、发展、功能及深远影响，带读者走进一个充满逻辑之美与历史厚重感的符号世界。

第一章 数学运算符号的起源：从文字描述到符号萌芽（公元前 3000 年 - 公元 500 年）

数学运算的需求伴随着人类社会的产生而出现，当原始人类开始计数猎物、分配食物、丈量土地时，最初的运算行为便已诞生。然而，运算符号的出现却远晚于运算行为本身。在漫长的古代社会，人们普遍采用文字描述的方式来记录和表达数学运算，这种方式不仅繁琐冗余，还极大地限制了数学思维的拓展。

1.1 古埃及：象形文字中的运算雏形

公元前 3000 年左右，古埃及文明在尼罗河沿岸兴起，农业生产、建筑工程（如金字塔建造）和税收制度的需求，推动了古埃及数学的发展。古埃及人使用 “象形文字” 来记录数学问题和运算过程，他们没有专门的运算符号，而是通过文字描述来表达 “加”“减”“乘”“除” 的含义。

在古埃及的《林德纸草书》（约公元前 1650 年）和《莫斯科纸草书》（约公元前 1850 年）中，记载了大量的数学问题及解法。例如，对于 “5 加 3 等于 8” 这样的简单运算，古埃及人会用象形文字写作 “5，与 3 结合，得到 8”；对于减法，如 “10 减去 4 等于 6”，则表述为 “10，从其中取走 4，剩余 6”。这种文字描述的方式虽然能够表达运算关系，但效率极低，尤其是在处理复杂运算时，往往需要大段的文字，极易产生歧义。

古埃及人在乘法和除法运算中，采用了 “倍乘叠加” 的方法，同样没有专门的符号。例如，计算 “7×9” 时，他们会先写出 7 的 1 倍（7）、2 倍（14）、4 倍（28）、8 倍（56），然后观察 9 可以由 1+8 组成，因此将 7（1 倍）与 56（8 倍）相加，得到 63，即 7×9 的结果。整个过程完全依赖文字记录每一步的倍数和加法操作，没有任何符号能够简化这一过程。

1.2 古巴比伦：楔形文字中的计数与运算

与古埃及同时期的古巴比伦文明（约公元前 3000 年 - 公元前 539 年），在数学领域取得了更为显著的成就，尤其是在计数系统和运算方法上。古巴比伦人发明了 “六十进制” 计数法，这种计数法对后世的时间计量（如 60 秒 = 1 分钟，60 分钟 = 1 小时）和角度计量（如 360 度 = 1 圆周）产生了深远影响。

古巴比伦人使用 “楔形文字” 在泥板上记录数学内容，他们同样没有专门的运算符号，但在计数和运算过程中，通过不同的楔形符号组合来区分不同的数字和运算步骤。例如，他们用 “▼” 表示 1，用 “<” 表示 10，通过这两种符号的组合来表示 1-59 的数字。在运算记录中，对于加法，他们会将两个数字的楔形符号并列书写，再在下方写出结果；对于减法，则会在被减数的楔形符号旁添加一个 “取走” 的文字注释，然后写出结果。

在古巴比伦的泥板文献（如《普利姆斯特泥板》）中，记载了大量的代数问题和几何问题，其中涉及到一次方程、二次方程的解法。例如，对于方程 “x + y = 10，x - y = 4”，古巴比伦人会用文字描述解题过程：“将两个等式相加，得到两个 x 等于 14，因此 x 等于 7；再将 x 等于 7 代入第一个等式，得到 7 + y = 10，因此 y 等于 3”。整个解题过程完全依赖文字，没有任何符号能够代表 “未知数”“加号”“等号”，这使得方程的表达和求解过程异常繁琐。

1.3 古希腊：几何主导下的运算表达

古希腊文明（约公元前 800 年 - 公元前 146 年）是西方文明的源头之一，在数学领域以几何学的辉煌成就著称。古希腊数学家（如欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯）注重逻辑推理和几何证明，他们的数学研究主要围绕几何图形展开，运算更多地服务于几何问题的求解，因此运算符号的发展相对缓慢。

古希腊人使用 “字母计数法”，即通过希腊字母来表示数字，例如用 α 表示 1，β 表示 2，γ 表示 3，…，ζ 表示 6，…，ρ 表示 100，σ 表示 200 等。在运算表达上，他们依然采用文字描述的方式，例如欧几里得在《几何原本》中，对于线段长度的相加，表述为 “将线段 AB 与线段 BC 连接，得到线段 AC，且 AC 的长度等于 AB 与 BC 长度之和”；对于面积的计算，如 “正方形的面积等于边长的平方”，则直接用文字描述边长与面积的关系。

古希腊数学家丢番图（约公元 3 世纪）被称为 “代数之父”，他在《算术》一书中，首次尝试用符号来表示未知数和一些运算。他用希腊字母 “ζ”（Zeta）的缩写来表示未知数，用 “℧” 表示减法（可能是 “缺少” 一词的缩写），用 “=” 形状的符号表示相等（但这一符号并未被广泛接受）。丢番图的尝试虽然是运算符号发展的重要一步，但由于当时几何学的主导地位，以及符号体系的不完整性，他的符号并未在后世得到传承和发展。

1.4 古中国：算筹与文字结合的运算传统

古中国的数学发展有着独特的路径，从先秦时期（约公元前 221 年以前）到隋唐时期（公元 581 年 - 907 年），算筹是主要的计算工具，数学著作中的运算表达以文字为主，辅以算筹的摆放规则。

在《九章算术》（成书于东汉时期，约公元 1 世纪）中，记载了丰富的数学问题，涵盖了算术、代数、几何等多个领域。例如，在 “方田” 章中，计算长方形面积的方法表述为 “方田术曰：广从步数相乘得积步”，其中 “广” 指长方形的长，“从” 指长方形的宽，“相乘” 即表示乘法运算，“积步” 指面积；在 “粟米” 章中，比例问题的解法表述为 “粟米之法：以所有数乘所求率为实，以所有率为法，实如法而一”，其中 “乘” 表示乘法，“实如法而一” 表示除法（即实除以法）。

古中国数学家在运算过程中，虽然没有专门的符号来表示 “加”“减”“乘”“除”，但通过 “并”“合”“加” 等文字表示加法，通过 “减”“除”“去” 等文字表示减法，通过 “乘”“因” 等文字表示乘法，通过 “除”“分” 等文字表示除法。这种文字表达的方式与算筹的操作相结合，形成了独特的数学传统。例如，用算筹进行加法时，将两组算筹合并在一起，根据算筹的摆放规则得出结果；进行减法时，从一组算筹中去掉与另一组算筹数量相等的部分，剩余的算筹即为结果。

1.5 符号萌芽的意义与局限

在公元前 3000 年至公元 500 年的漫长历史时期，虽然不同文明都在数学运算领域取得了一定的成就，但运算符号的发展仍处于萌芽阶段，尚未形成系统的符号体系。这一时期的运算表达主要依赖文字描述，辅以简单的图形或标记，其意义和局限都十分明显。

从意义来看，文字描述运算的方式满足了当时社会对简单数学运算的需求，推动了农业生产、建筑工程、商业贸易等领域的发展。例如，古埃及人通过文字记录的运算方法，成功计算出金字塔的高度和体积；古巴比伦人通过文字描述的方程解法，解决了土地分配和税收计算中的问题；古中国人通过文字记载的算术方法，满足了粮食分配、工程测量等实际需求。同时，文字描述运算的过程，也为后世运算符号的诞生奠定了基础，人们在长期的运算实践中，逐渐意识到文字描述的繁琐性，开始寻求更简洁、更高效的表达方式，这为符号的出现提供了动力。

从局限来看，文字描述运算的方式效率极低，尤其是在处理复杂运算和抽象数学问题时，往往需要大量的文字，不仅浪费时间和精力，还容易产生歧义。例如，在表达多步运算时，文字描述需要详细说明每一步的操作顺序，稍有不慎就会导致误解；在表达代数方程时，由于没有专门的未知数符号和运算符号，只能通过文字反复描述未知数与已知数的关系，使得方程的求解过程异常复杂。此外，文字描述运算具有很强的地域性和文化性，不同文明、不同语言的文字描述方式差异巨大，这使得数学知识的传播和交流受到了极大的限制，不利于数学学科的整体发展。

第二章 数学运算符号的初步发展：从零散符号到体系雏形（公元 600 年 - 公元 1500 年）

公元 600 年以后，随着人类文明的交流与融合（如阿拉伯帝国对东西方文化的传播、欧洲文艺复兴运动的兴起），数学学科进入了快速发展时期。在这一时期，数学家们开始尝试用更简洁的符号来表示运算，零散的运算符号逐渐出现，虽然尚未形成全球通用的体系，但为后世符号体系的建立奠定了重要基础。

2.1 阿拉伯帝国：代数的兴起与运算符号的探索

公元 7 世纪至 13 世纪，阿拉伯帝国崛起，成为连接东西方文化的桥梁。阿拉伯数学家在吸收古希腊、古埃及、古巴比伦和古中国数学成就的基础上，在代数领域取得了突破性进展，同时也对运算符号的发展进行了积极探索。

阿拉伯数学家花拉子米（约公元 780 年 - 850 年）被称为 “代数学之父”，他在《代数学》一书中，首次系统地阐述了代数方程的解法。花拉子米虽然没有使用专门的运算符号，但他用 “al-jabr”（意为 “还原”，即移项）和 “al-muqabala”（意为 “对消”，即合并同类项）两个词来描述代数方程的求解过程，这两个词后来演变成了 “代数”（algebra）一词。在运算表达上，花拉子米用文字描述 “加”“减”“乘”“除”，例如用 “与…… 相加” 表示加法，用 “从…… 中减去” 表示减法，用 “乘以” 表示乘法，用 “除以” 表示除法。

随着代数研究的深入，阿拉伯数学家开始尝试用一些简单的符号来简化运算表达。例如，在 10 世纪左右，一些阿拉伯数学家在手稿中用 “+” 形状的符号表示加法（可能是 “合并” 一词的缩写），用 “-” 形状的符号表示减法（可能是 “缺少” 一词的缩写），但这些符号仅在少数数学家的手稿中出现，并未得到广泛传播和使用。此外，阿拉伯数学家还发明了用字母表示未知数的方法，例如用 “shay”（意为 “事物”）表示未知数，后来简化为 “sh”，这一做法对后世代数符号的发展产生了重要影响。

2.2 欧洲中世纪：数学的复苏与符号的零星出现

公元 5 世纪至 15 世纪的欧洲，处于中世纪时期，宗教思想占据主导地位，数学学科的发展相对缓慢。直到 12 世纪以后，随着阿拉伯数学著作（如《代数学》）被翻译成拉丁文传入欧洲，欧洲数学才开始逐渐复苏，数学家们在吸收阿拉伯数学成就的基础上，开始尝试探索更简洁的运算符号。

在 13 世纪，意大利数学家斐波那契（约公元 1170 年 - 1250 年）在《算盘书》中，介绍了阿拉伯数字和算术方法，推动了欧洲算术的发展。斐波那契在运算表达上，依然以文字描述为主，但他在书中首次使用了 “P”（拉丁文 “plus” 的缩写，意为 “加”）和 “M”（拉丁文 “minus” 的缩写，意为 “减”）来表示加法和减法。例如，他将 “5 加 3” 写作 “5P3”，将 “10 减 4” 写作 “10M4”。这种用字母缩写表示运算的方式，虽然比文字描述简洁，但仍不够直观，且 “P” 和 “M” 容易与其他字母混淆，因此并未得到广泛推广。

14 世纪至 15 世纪，欧洲商业贸易日益繁荣，对数学运算的需求不断增加，尤其是在记账、税收计算等领域，需要更高效的运算表达方式。在这一背景下，一些商人数学家开始使用一些简单的符号来表示加法和减法。例如，在德国的商业账簿中，出现了用 “+” 符号表示货物的增加（即加法），用 “-” 符号表示货物的减少（即减法）；在意大利的商业手稿中，也出现了类似的符号。这些符号最初只是商人在记账时的临时标记，随着使用频率的增加，逐渐被一些数学家采纳，并出现在数学著作中。

2.3 中国宋元时期：天元术与运算符号的本土化探索

公元 960 年至 1368 年的宋元时期，是中国古代数学发展的鼎盛时期，数学家们在代数领域取得了辉煌成就，发明了 “天元术”（列方程的方法）和 “四元术”（解四元高次方程组的方法），同时也对运算符号进行了本土化探索。

“天元术” 是宋元时期数学家发明的一种列方程的方法，其核心是用 “天元” 表示未知数。在 “天元术” 中，数学家们用 “○” 表示常数项，用 “天” 字表示未知数的一次项，用 “上” 字表示未知数的二次项，用 “下” 字表示未知数的负一次项，以此类推。例如，方程 “x² + 3x - 5 = 0” 用 “天元术” 表示为 “上○一 天○三 下○五”（其中 “一” 表示 x² 的系数，“三” 表示 x 的系数，“五” 表示常数项，“下” 表示负号）。这种表示方法虽然不是现代意义上的运算符号，但通过特定的文字和位置来表示未知数的次数和系数，极大地简化了方程的列写过程，是中国古代数学符号化的重要尝试。

在运算表达上，宋元时期的数学家依然以文字为主，但在一些数学著作中，出现了用简单图形表示运算的情况。例如，在朱世杰的《四元玉鉴》（公元 1303 年）中，用 “×” 形状的符号表示乘法（可能是 “交叉相乘” 的直观表示），用 “÷” 形状的符号表示除法（可能是 “分” 字的变形）。这些符号虽然仅在少数著作中出现，且使用范围有限，但体现了中国古代数学家对运算符号简化的追求。

2.4 初步发展阶段的特点与影响

公元 600 年至公元 1500 年，是数学运算符号初步发展的阶段，这一阶段的运算符号具有以下特点：

第一，符号的零散性。这一时期出现的运算符号（如 “P”“M”“+”“-”“天”“上” 等）大多是零散的，没有形成系统的体系，不同地区、不同数学家使用的符号差异很大。例如，欧洲数学家使用 “P”“M” 表示加减，而中国数学家使用 “天”“上” 表示未知数的次数，阿拉伯数学家则使用 “sh” 表示未知数。

第二，符号的实用性。这一时期的运算符号大多源于实际需求，例如商业贸易中的记账需求推动了 “+”“-” 符号的出现，代数方程的求解需求推动了未知数符号的探索。符号的设计更加注重实用性和简洁性，以提高运算效率。

第三，符号的文化性。这一时期的运算符号深受不同文化的影响，体现了不同文明的数学传统。例如，欧洲的符号受拉丁文和商业文化的影响，中国的符号受汉字和算筹文化的影响，阿拉伯的符号受阿拉伯文字和代数文化的影响。

这一阶段运算符号的初步发展，对数学学科的发展产生了重要影响：一方面，零散符号的出现简化了运算表达，提高了运算效率，为复杂数学问题的研究提供了可能；另一方面，符号的探索为后世系统符号体系的建立积累了经验，不同地区、不同文化的符号尝试，为全球通用符号的形成奠定了基础。同时，运算符号的发展也推动了数学知识的传播和交流，例如阿拉伯数学符号的传播，促进了东西方数学的融合。

第三章 数学运算符号的体系形成：从地区符号到全球通用（公元 1500 年 - 公元 1800 年）

公元 1500 年以后，随着欧洲文艺复兴运动的深入，人文主义思想兴起，人们对自然科学的探索热情空前高涨，数学作为基础学科迎来了爆发式发展。这一时期，欧洲数学家在吸收前人成果的基础上，对运算符号进行了大量创新与优化，原本零散的符号逐渐走向统一，乘法、除法、等号、根号等关键符号相继定型，最终形成了一套相对完整、可在全球范围内传播的运算符号体系，为近代数学的崛起奠定了坚实基础。

3.1 加减符号的定型：从商业标记到数学标准

“+”“-” 符号的起源可追溯至中世纪欧洲的商业活动，但真正在数学领域定型并成为全球通用符号，离不开 16-17 世纪数学家的推动。

15 世纪末，德国商人在记账时常用 “+” 表示货物的增加，用 “-” 表示货物的减少，这种标记方式简单直观，逐渐被德国数学家采纳。1489 年，德国数学家维德曼（Johann Widmann）在《商业算术》一书中，首次将 “+”“-” 符号用于数学运算，分别表示 “加法” 和 “减法”。例如，他将 “3 加 2” 写作 “3+2”，将 “5 减 1” 写作 “5-1”。不过，维德曼的符号使用仍局限于算术领域，且未对符号的含义进行系统阐述，因此在当时的传播范围有限。

16 世纪中期，瑞士数学家斯蒂文（Simon Stevin）在《算术》一书中，进一步推广了 “+”“-” 符号的使用，并将其应用于代数运算中。斯蒂文不仅用 “+”“-” 表示加减，还通过括号的结合，解决了多步运算的顺序问题，例如 “(8+5)-3”，这种表达方式极大地简化了代数方程的书写。与此同时，法国数学家韦达（François Viète）在研究代数时，也广泛使用 “+”“-” 符号，并将其与字母表示未知数的方法结合，形成了更具逻辑性的代数表达体系。

到 17 世纪初，“+”“-” 符号已在欧洲数学界得到普遍认可。1637 年，法国数学家笛卡尔（René Descartes）在《几何》一书中，将 “+”“-” 符号与坐标系结合，用于解析几何的研究，进一步巩固了其数学符号的地位。此后，随着欧洲数学著作在全球范围内的传播，“+”“-” 符号逐渐成为全球通用的加减运算符号，至今仍未发生改变。

3.2 乘法符号的竞争与统一：×、・与 * 的博弈

与加减符号相比，乘法符号的定型过程更为复杂，经历了 “×”“・”“*” 等多种符号的竞争，最终形成了 “×” 与 “・” 并存的局面。

1631 年，英国数学家奥特雷德（William Oughtred）在《数学之钥》一书中，首次提出用 “×” 符号表示乘法。奥特雷德认为，乘法是加法的重复，而 “×” 符号的形状与加法符号 “+” 相似，且交叉形态可体现 “结合” 的含义，因此用 “×” 表示乘法既直观又符合逻辑。例如，他将 “4×5” 表示为 “4×5”，这种符号在英国数学界迅速得到推广，并随着英国的海外扩张传播到北美、印度等地。

然而，“×” 符号在欧洲大陆却遭到了质疑。1698 年，德国数学家莱布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）在给友人的信中指出，“×” 符号与字母 “x” 过于相似，在代数运算中容易产生混淆，尤其是在表示未知数时（当时常用 “x” 表示未知数）。为此，莱布尼茨提出用 “・” 符号表示乘法，例如将 “a×b” 写作 “a・b”。“・” 符号简洁明了，且与字母区分度高，很快在德国、法国、瑞士等欧洲大陆国家得到广泛使用。

除了 “×” 和 “・”，17 世纪末还出现了用 “” 符号表示乘法的情况。意大利数学家塔塔利亚（Niccolò Tartaglia）在研究三次方程时，曾用 “” 表示乘法，但由于 “×” 和 “・” 符号已占据主导地位，“*” 符号仅在少数领域（如计算机编程）中使用，未成为数学运算的主流符号。

经过数百年的竞争与磨合，到 18 世纪末，乘法符号逐渐形成了 “地域分工”：在英国、美国等英语国家，“×” 符号更为常用；在德国、法国等欧洲大陆国家，“・” 符号则成为主流；而在国际数学会议和学术著作中，两种符号均可使用，但需避免与其他符号混淆（如用 “・” 表示乘法时，需与小数点区分）。这种 “并存不冲突” 的局面，一直延续至今。

3.3 除法符号的演变：从分数形式到 ÷ 的确立

除法符号的发展经历了从分数形式到专门符号的演变过程，其中 “÷” 符号的定型，离不开瑞士数学家雷恩（Johann Rahn）的贡献。

在 16 世纪以前，数学家们普遍用分数形式表示除法，例如将 “6 除以 2” 写作 “\(\frac{6}{2}\)”，这种方式虽然能够表达除法关系，但在处理多步运算时不够便捷。16 世纪中期，德国数学家施蒂费尔（Michael Stifel）在《整数算术》一书中，尝试用 “：” 符号表示除法，例如将 “8：4” 表示为 “8 除以 4”，这种符号在欧洲大陆的数学著作中曾短暂使用，但由于与比例符号 “：”（表示比）混淆，最终未能推广。

1659 年，瑞士数学家雷恩在《代数》一书中，首次提出用 “÷” 符号表示除法。雷恩认为，除法是乘法的逆运算，而 “÷” 符号由 “-” 和 “：” 组成，其中 “-” 表示减法（除法可看作多次减法），“：” 表示比例，因此 “÷” 符号既体现了除法与减法的关系，又与比例符号区分开来。例如，他将 “12÷3” 表示为 “12÷3”，这种符号简洁易懂，很快在英国得到认可，并通过英国的数学著作传播到全球。

18 世纪以后，“÷” 符号与分数形式逐渐形成了互补关系：在简单除法运算中，“÷” 符号更为便捷，例如 “15÷5=3”；在复杂运算或代数表达式中，分数形式则更为清晰，例如 “\(\frac{a+b}{c-d}\)”。这种分工使得除法的表达更加灵活，也进一步巩固了 “÷” 符号的地位，使其成为全球通用的除法符号之一。

3.4 等号与根号的诞生：数学逻辑的可视化表达

等号（=）和根号（\(\sqrt{}\)）是数学运算中表示 “相等关系” 和 “开方运算” 的关键符号，它们的诞生标志着数学运算符号体系的进一步完善。

3.4.1 等号的发明与推广

1557 年，英国数学家雷科德（Robert Recorde）在《智慧的磨刀石》一书中，首次提出用 “=” 符号表示相等关系。雷科德在书中写道：“我认为没有任何符号比两条平行且相等的线段更能表示相等了，因为它们既简单又直观。” 因此，他用两条长度相等的横线 “=” 表示 “等于”，例如将 “2+3=5” 写作 “2+3=5”。

然而，雷科德的 “=” 符号在最初的一百多年里并未得到广泛使用。当时欧洲数学界常用 “æ”（拉丁文 “aequalis” 的缩写，意为 “相等”）或文字描述 “等于” 来表示相等关系。直到 17 世纪末，随着笛卡尔《几何》一书的传播，“=” 符号因其简洁性和直观性，逐渐被欧洲数学家接受。1687 年，牛顿（Isaac Newton）在《自然哲学的数学原理》中，大量使用 “=” 符号表示物理量之间的相等关系，进一步推动了 “=” 符号的普及。到 18 世纪中期，“=” 符号已成为全球通用的等号，至今仍是数学运算中最基础、最常用的符号之一。

3.4.2 根号的演变与定型

根号的起源可追溯至 13 世纪的欧洲，当时数学家们用 “√” 形状的符号表示开方运算，但符号的形式和含义尚未统一。1220 年，意大利数学家斐波那契在《算盘书》中，用 “R”（拉丁文 “radix” 的缩写，意为 “根”）表示开方，例如将 “\(\sqrt{4}\)” 写作 “R4”，这种符号在欧洲数学界使用了近三百年。

1525 年，德国数学家鲁道夫（Christoff Rudolff）在《未知数》一书中，对开方符号进行了创新，他将 “R” 与括号结合，用 “\(\sqrt{}\)” 表示开平方，用 “\(\sqrt[3]{}\)” 表示开立方，例如将 “\(\sqrt{9}\)” 写作 “\(\sqrt{9}\)”，将 “\(\sqrt[3]{8}\)” 写作 “\(\sqrt[3]{8}\)”。鲁道夫的符号设计既保留了 “根” 的含义，又通过指数的标注区分了不同的开方运算，极大地提升了符号的实用性。

1637 年，笛卡尔在《几何》一书中，进一步规范了根号的使用，他将根号与字母、数字结合，形成了现代根号的基本形式，例如 “\(\sqrt{a^2+b^2}\)”。此后，根号的形式逐渐定型，到 18 世纪末，“\(\sqrt{}\)”“\(\sqrt[3]{}\)”“\(\sqrt[n]{}\)” 等符号已成为全球通用的开方运算符号，广泛应用于代数、几何、物理等领域。

3.5 非欧洲地区的符号接纳与融合

在欧洲运算符号体系形成的同时，亚洲、非洲等非欧洲地区的数学家也在积极接纳和融合这些符号，推动了全球数学符号的统一。

3.5.1 中国：从传统算筹到西方符号的过渡

17 世纪末，随着西方传教士进入中国，西方数学著作开始传入中国。1685 年，法国传教士白晋（Joachim Bouvet）和张诚（Jean-François Gerbillon）将《几何原本》等西方数学著作翻译成中文，首次将 “+”“-”“×”“÷”“=” 等符号引入中国。不过，由于当时中国传统数学（以算筹为基础）的影响深远，西方符号并未立即得到普及，数学家们仍以文字描述和算筹操作为主。

19 世纪中期，鸦片战争后，中国开始大规模学习西方科学技术，数学作为基础学科成为重点。1859 年，李善兰与英国传教士伟烈亚力合作翻译《代数学》，系统地将西方运算符号引入中国，并对符号进行了本土化调整（例如将 “×” 译为 “乘号”，“÷” 译为 “除号”）。此后，西方运算符号逐渐取代了传统的文字描述和算筹操作，成为中国数学教育和研究的主流符号。到 20 世纪初，中国已完全接纳了全球通用的数学运算符号体系，实现了与国际数学的接轨。

3.5.2 日本：符号的快速引进与本土化

17 世纪初，日本开始接触西方数学（称为 “兰学”），但由于闭关锁国政策，西方数学的传播受到限制。19 世纪中期，明治维新后，日本推行 “文明开化” 政策，大规模引进西方科学技术，数学运算符号也随之快速传入。

1877 年，日本数学家菊池大麓翻译了《代数学讲义》，将 “+”“-”“×”“÷”“=”“\(\sqrt{}\)” 等符号直接引入日本，并采用片假名标注符号的发音（如 “+” 读作 “プラス”，“-” 读作 “マイナス”）。由于日本文字中包含大量汉字，且数学教育体系直接借鉴西方，西方运算符号在日本迅速普及，几乎没有遇到传统数学的阻力。到 19 世纪末，日本已完全采用全球通用的数学运算符号体系，并在 20 世纪成为亚洲数学研究的重要中心。

3.5.3 印度与阿拉伯地区：传统与现代的结合

印度作为古代数学的发源地之一（发明了阿拉伯数字），在 16-17 世纪仍保留着传统的数学符号体系。18 世纪，英国对印度的殖民统治开始后，西方数学著作大量传入印度，印度数学家在保留阿拉伯数字的基础上，逐渐接纳了西方的运算符号。例如，印度数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan）在 20 世纪初的研究中，既使用阿拉伯数字，又采用 “+”“-”“×”“÷”“=” 等西方符号，形成了传统与现代结合的数学表达风格。

阿拉伯地区作为东西方文化的桥梁，在 16-18 世纪也经历了符号的转型。阿拉伯数学家在吸收西方运算符号的同时，对符号进行了阿拉伯化调整，例如将 “+” 写作 “ج”（阿拉伯文 “加法” 的首字母），“-” 写作 “ن”（阿拉伯文 “减法” 的首字母），但这种本土化符号并未得到广泛推广。到 19 世纪，随着阿拉伯国家与欧洲的交流日益频繁，西方运算符号逐渐成为阿拉伯地区的主流符号，仅在少数传统数学研究中保留本土符号。

3.6 体系形成阶段的意义与影响

公元 1500 年至 1800 年，数学运算符号体系的形成是数学史上的重要里程碑，其意义和影响主要体现在以下三个方面：

第一，推动了近代数学的崛起。统一的运算符号体系简化了数学表达，降低了数学研究的门槛，使得数学家能够更专注于抽象思维和逻辑推理。例如，笛卡尔通过 “+”“-”“=” 等符号与坐标系的结合，创立了解析几何；牛顿和莱布尼茨利用 “×”“÷”“\(\sqrt{}\)” 等符号，分别发明了微积分。这些重大突破都离不开统一运算符号的支撑，奠定了近代数学的基础。

第二，促进了数学知识的全球传播。在运算符号体系形成之前，不同地区的数学表达差异巨大，知识传播困难。而统一的运算符号具有 “无国界性”，无论是欧洲、亚洲还是非洲的数学家，都能通过相同的符号理解和交流数学思想。例如，18 世纪末，法国数学家拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）的《解析函数论》通过统一的符号体系，在全球范围内传播，推动了分析学的发展；19 世纪，英国数学家布尔（George Boole）的布尔代数通过符号表达，为现代计算机科学奠定了基础。

第三，塑造了现代数学教育体系。统一的运算符号使得数学教育能够标准化、规模化开展。19 世纪以后，欧洲、美国、日本等国家相继将 “+”“-”“×”“÷”“=”“\(\sqrt{}\)” 等符号纳入中小学数学教材，形成了统一的数学教育内容。这种标准化的教育体系培养了大量数学人才，为现代科学技术的发展提供了智力支持。

第四章 数学运算符号的现代发展：从经典符号到拓展创新（公元 1800 年 - 至今）

19 世纪以后，数学学科进入了现代发展阶段，随着抽象代数、集合论、拓扑学、计算机科学等新兴领域的兴起，传统的运算符号已无法满足新的数学需求。在这一背景下，数学家们对运算符号进行了拓展创新，不仅丰富了符号的种类，还赋予了符号新的含义和功能，形成了经典符号与现代符号并存、相互补充的格局。

4.1 抽象代数中的运算符号创新：群、环、域的符号表达

抽象代数是 19 世纪中期兴起的数学分支，主要研究群、环、域等代数结构，其运算符号的创新体现了数学从具体到抽象的跨越。

4.1.1 群运算符号：* 与∘的广泛使用

群是抽象代数中最基础的代数结构，其运算符号的选择经历了从具体到抽象的过程。19 世纪初，数学家在研究置换群时，常用 “×” 表示置换的复合运算，例如将置换 a 与置换 b 的复合写作 “a×b”。但随着群的概念不断推广（从置换群到矩阵群、抽象群），“×” 符号容易与普通乘法混淆，因此数学家们开始寻找更抽象的符号。

1849 年，法国数学家伽罗瓦（Évariste Galois）在研究群论时，首次用 “∘” 符号表示群的运算，例如将群元素 a 与 b 的运算写作 “a∘b”。“∘” 符号不具有具体的运算含义，仅表示 “群元素之间的二元运算”，这种抽象性使其能够适用于各种不同类型的群，很快在抽象代数领域得到推广。

19 世纪末，德国数学家戴德金（Richard Dedekind）在《数论讲义》中，提出用 “*” 符号表示群的