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量化面试绿皮书：5. 扑克牌游戏概率与期望值

web 2025/6/26 21:09:55

文中内容仅限技术学习与代码实践参考，市场存在不确定性，技术分析需谨慎验证，不构成任何投资建议。

5. 扑克牌游戏概率与期望值

赌场提供使用一副普通的52张牌的纸牌游戏。
规则是每次翻两张牌。
对于每一对，如果都是黑色，则它们进入庄家堆；
如果两者都是红色的，它们就会进入你的堆；
如果一黑一红，则丢弃。
重复该过程，直到你们两个完成所有52张卡片。
如果您的牌堆中有更多牌，您将赢得100美元；否则(包括平局)你什么也得不到。
赌场允许您协商要为游戏支付的价格。

Q: 你愿意花多少钱玩这个游戏?

A: 根据游戏规则，一副标准的52张扑克牌包含26张红色牌（红心和方块）和26张黑色牌（黑桃和梅花）。游戏过程中，每次随机翻开两张牌，并根据颜色进行分配：

如果两张都是黑色，则进入庄家堆；
如果两张都是红色，则进入玩家堆（即“你的堆”）；
如果一黑一红，则丢弃。

重复该过程，直到所有牌被处理完毕。最终，玩家赢得100美元的条件是玩家堆中的牌数（即红色对的数量乘以2）严格大于庄家堆中的牌数（即黑色对的数量乘以2）；否则（包括牌数相等），玩家一无所获。

关键数学分析

设 $X$ 为红色对的数量（即两张都是红色的对子）。
设 $Y$ 为黑色对的数量（即两张都是黑色的对子）。
设 $Z$ 为混合对的数量（即一黑一红的对子）。

总牌数为52张，因此总对数为26：

$X + Y + Z = 26$

红色牌的总数为26张，每张红色牌要么属于一个红色对（贡献2张牌），要么属于一个混合对（贡献1张牌）。因此：

$2 X + Z = 26$

同样，黑色牌的总数为26张：

$2 Y + Z = 26$

将上述两个方程相减：

$\implies 2X - 2Y = 0 \implies X = Y$

这表明，无论牌如何配对，红色对的数量 $X$ 总是等于黑色对的数量 $Y$ 。因此：

玩家堆的牌数为 $2 X$ 。
庄家堆的牌数为 $2 Y = 2 X$ 。

玩家堆和庄家堆的牌数总是相等，因此玩家获胜的条件（玩家堆牌数更多）永远不会满足。游戏总是以平局结束，玩家一无所获。

期望价值计算

玩家赢得100美元的概率为0。
玩家一无所获的概率为1。
游戏的期望价值为：
$\times 100) + (1 \times 0) = 0 \text{ 美元}$

结论

由于游戏的期望价值为0美元，玩家在任何正价下玩都会预期亏损（因为需支付入场费但无期望收益）。因此，玩家只愿意支付0美元玩这个游戏，或者不应支付任何费用。在赌场协商时，玩家应拒绝支付任何价格，或仅同意免费玩（如果赌场允许）。

答案：愿意支付的价格 0 美元

Python 实现：

要模拟这个纸牌游戏并计算期望收益，可以通过Python实现如下：

import numpy as npdef simulate_game() -> int:"""模拟一次游戏，返回玩家的收益。游戏规则：一副牌包含26张红色和26张黑色牌，随机洗牌后每次抽取两张牌。如果两张牌颜色相同，则相同颜色的一方获得这两张牌。最后比较双方获得的牌数，玩家多则收益100，否则收益0。Returns:int: 玩家的收益，100或0。"""# 创建一副牌：26张红色(R)和26张黑色(B)deck: list[str] = ['R'] * 26 + ['B'] * 26# 随机洗牌np.random.shuffle(deck)player_count: int = 0  # 玩家牌堆计数dealer_count: int = 0  # 庄家牌堆计数# 每次处理两张牌for i in range(0, 52, 2):card1: strcard2: strcard1, card2 = deck[i], deck[i+1]# 两张都是黑色：庄家获得if card1 == 'B' and card2 == 'B':dealer_count += 2# 两张都是红色：玩家获得elif card1 == 'R' and card2 == 'R':player_count += 2# 比较牌堆大小决定胜负return 100 if player_count > dealer_count else 0# 模拟10万次游戏
num_simulations: int = 100000
results: list[int] = [simulate_game() for _ in range(num_simulations)]# 计算平均收益（期望值）
expected_value: float = np.mean(results)
print(f"模拟次数: {num_simulations}")
print(f"期望收益: ${expected_value:.4f}")
print(f"推荐支付价格: ${max(0, expected_value):.2f}")

代码说明

牌堆表示：
- 红色牌用 'R' 表示（红心/方块）
- 黑色牌用 'B' 表示（黑桃/梅花）
游戏规则实现：
- 每次抽取两张牌判断组合
- 双黑 → 庄家+2
- 双红 → 玩家+2
- 红黑混合 → 直接丢弃
数学原理：
- 根据概率证明，最终玩家和庄家的牌数必然相等
- 因此理论上获胜概率为0（总是平局）
运行结果：
```
模拟次数: 100000
期望收益: $0.0000
推荐支付价格: $0.00
```
验证了理论预期：无论进行多少次游戏，期望收益均为0

结论

您应该拒绝支付任何费用参与这个游戏。如果赌场要求付费，最高可接受价格为 $0.00（即免费参与），因为从概率上看您永远无法获胜。

在量化金融领域的面试中，这道题主要考察以下核心知识点：

概率论与期望值计算（核心）
- 期望值理论：计算随机变量的数学期望（ $E [X]$ ），作为决策基础
- 条件概率：分析特定组合（双红/双黑/红黑）出现的概率
- 组合计数：计算26张红牌和26张黑牌的可能配对方式
- 对称性原理：利用红/黑牌的对称性推导必然结论（关键考察点）
面试官期待：通过数学证明得出 $E[\text{收益}] = 0$
随机过程与动态建模
- 离散随机过程：将抽牌过程建模为离散状态转移
- 吸收态分析：证明游戏最终必然收敛到平局状态
- 不变性原理：识别系统中的守恒量（红黑牌数量关系）
考察能力：将实际问题转化为随机过程模型
蒙特卡洛模拟（实操重点）
- 随机数生成：实现扑克牌的随机洗牌（np.random.shuffle）
- 大数定律验证：通过重复实验收敛到理论期望值
- 模拟效率：设计高效向量化计算（避免低效循环）
代码实现要点：牌堆表示、配对逻辑、批量模拟
博弈论与决策理论
- 零和博弈识别：庄家与玩家的收益关系（ $\sum \text{收益} \equiv 0$ ）
- 风险中性定价：公平价格 = $E[\text{收益}]$ 的现值
- 参与约束：仅当 $E[\text{收益}] > \text{成本}$ 时参与
决策推导： $\text{公平价格} = \max(0, E[\text{收益}]) = 0$
金融数学应用
- 期权定价类比：类似二元期权（赢$100/输$0）的定价
- 概率测度：在风险中性测度下评估公平价格
- 套利分析：若赌场收费 $> 0$ ，存在理论套利机会
组合优化（高阶考察）
- 配对策略优化：如果允许选择配对顺序（实际规则不允许）
- 协方差分析：不同配对方式对结果的方差影响
- 最坏情况分析：庄家恶意洗牌时的最小收益

面试评估维度

考察维度	具体表现要求	本题对应点
数学严谨性	理论证明的完整性	红黑牌守恒定律推导
编程能力	高效无错的模拟实现	Python蒙特卡洛实现
金融直觉	识别零和博弈本质	公平价格=期望收益
沟通表达	清晰解释数学证明与模拟结果的关联	理论 $E = 0$ 与模拟收敛的一致性
扩展思维	提出变体问题（如改变牌数/奖励规则）	非对称牌组的期望计算

典型回答框架

$\begin{align*} \text{令 } R &= \text{红对数量}, B = \text{黑对数量}, M = \text{混合对数量} \\ \text{红牌守恒} &: 2R + M = 26 \\ \text{黑牌守恒} &: 2B + M = 26 \\ \text{相减得} &: 2(R - B) = 0 \Rightarrow R = B \\ \text{玩家牌数} &= 2R, \text{庄家牌数} = 2B = 2R \\ \therefore \text{玩家牌数} &\equiv \text{庄家牌数} \\ E[\text{收益}] &= 100 \times P(\text{赢}) + 0 \times P(\text{输或平}) = 0 \end{align*}$