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「数学::博弈论」Nim游戏（尼姆游戏）/ Luogu P2197（C++）

ops 2025/8/26 10:16:49

概述

思路

解题过程

Code

复杂度

总结

概述

Luogu P2197：

甲，乙两个人玩 nim 取石子游戏。

nim 游戏的规则是这样的：地上有 n 堆石子（每堆石子数量小于 104），每人每次可从任意一堆石子里取出任意多枚石子扔掉，可以取完，不能不取。每次只能从一堆里取。最后没石子可取的人就输了。假如甲是先手，且告诉你这 n 堆石子的数量，他想知道是否存在先手必胜的策略。

输入格式

本题有多组测试数据。

第一行一个整数 T （T≤10），表示有 T 组数据

接下来每两行是一组数据，第一行一个整数 n，表示有 n 堆石子，n≤104。

第二行有 n 个数，表示每一堆石子的数量.

输出格式

共 T 行，每行表示如果对于这组数据存在先手必胜策略则输出 Yes，否则输出 No。

输入输出样例

输入 #1
2
2
1 1
2
1 0
输出 #1
No
Yes

博弈论属于运筹学领域的一个关键分支，我们先来简单了解一下其基本要素：

我们要假设参与博弈的双方都是神，无所不知，可以瞬间推导出每次行动后直到博弈结束的所有可能局面，他们在每轮博弈中作出以下行为:

最佳回应（Best response）：依据对手的行动，选择能带来最高收益的行动。
占优策略（Dominant strategy）：无论对手采取何种策略，该策略始终是最佳选择。
纳什均衡（Nash equilibrium）：在这种状态下，玩家们的策略达到均衡，即双方都采取了对自己最优的决策。

是谓“泰山崩于前而色不变，麋鹿兴于左而目不瞬，然后可以制利害，可以待敌。”

结合题目，那么我们来想一想这个事。

思路

双方会永远向着对自己最有利的方向拿取石子，双方的博弈是一个无所不知的过程，他们知道此次行为后的所有局面，可惜我们是凡人，不能推演所有的情况，所以我们需要来找规律。

已知：

有初态第i堆石子的个数为a[i] > 0。
有末态所有堆石子个数a[i] = 0，这是某个人输的状态。

在末态， $\bigotimes$ a[i] = 0。( $\bigotimes$ ，即XOR异或和，意为a[0]^a[1]^...^a[n - 1])。

在末态的前一个状态，存在一个a[i] ≠ 0，即 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0：这对于把当前态操作到末态的人来说是必胜态，随后，他把末态丢给另一个人，即末态对于另一个人是必输态。

这或许是一个有用的性质，即我们可以对异或和做一些文章。

我们来证明两个神奇妙妙性质：

当前状态： $\bigotimes$ a[i] ≠ 0，则至少存在下一个状态使得 $\bigotimes$ a[i] = 0。
当前状态： $\bigotimes$ a[i] = 0，且a[i]不全为0，则下一个状态必是 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0。

1.证明:{

设当前状态 $\bigotimes$ a[i] = a[0]^a[1]^...^a[x]^...^a[n - 1] = s ≠ 0。

设s的二进制最高位1为第k位，则必有奇数个a的k位是1，这些奇数石头堆里选一堆a[x]，a[x] ^ s < a[x]，(a[x] = xxx1xxx, s = 0001xxx, a[x] ^ s = xxx0xxx < a[x])

从a[x]拿走一些石头使得剩余石头数目变为a[x] ^ s，则下一个状态：

$\bigotimes$ a[i] = a[0]^a[1]^...^a[x] ^ s ^...^a[n - 1]

= a[0]^a[1]^...^a[x] ^...^a[n - 1] ^ s （异或运算满足交换律）

= s ^ s

= 0

得证。

}

2.证明{

设当前状态 $\bigotimes$ a[i] = a[0]^a[1]^...^a[x]^...^a[n - 1] = 0，且a[i]不全为0。

则在每个二进制位上，所有a加起来有偶数个1，随便找一堆石头，再随便拿几个，其二进制1的数目一定发生变化，使得下一个状态 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0。

}

解题过程

有了这两个性质，先手就可以逼死后手。

如果甲先手，且初态 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0，他就可以构造下个状态 $\bigotimes$ a[i] = 0甩给对手，乙只能构造再下个状态 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0回给甲，二者交替，最后一次甲构造所有a[i] = 0绝杀乙。

二者都是神，甲永远找到构造路径踢死乙，由于 $\bigotimes$ a[i] = 0只能构造出 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0，乙永远无力回天。

因此，甲能否获胜在一开始就决定了：胜利条件是甲先手且初态 $\bigotimes$ a[i] ≠ 0。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const char* solve(int n){int res = 0;while(n--){int a; cin >> a;res ^= a;}return res ? "Yes\n" : "No\n";
}
int main(){int T; cin >> T;while(T--){int n; cin >> n;cout << solve(n);}return 0;
}