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【C++游记】红黑树

ops 2025/9/3 5:28:15

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你不能改变过去，但你可以改变未来

算法/C++/数据结构/C

Hello，这里是小枫。C语言与数据结构和算法初阶两个板块都更新完毕，我们继续来学习C++的内容呀。C++是接近底层有比较经典的语言，因此学习起来注定枯燥无味，西游记大家都看过吧~，我希望能带着大家一起跨过九九八十一难，降伏各类难题，学会C++，我会尽我所能，以通俗易懂、幽默风趣的方式带给大家形象生动的知识，也希望大家遇到困难不退缩，遇到难题不放弃，学习师徒四人的精神！！！故此得名【C++游记】

话不多说，让我们一起进入今天的学习吧~~~

一、红黑树的概念

1.1 红黑树的规则

1.2 红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的 2 倍？

1.3 红黑树的效率

二、红黑树的实现

2.1 红黑树的结构

2.2 红黑树的插入

插入过程概述

情况 1：变色处理

情况 2：单旋 + 变色

情况 3：双旋 + 变色

插入代码实现

2.3 红黑树的查找

2.4 红黑树的验证

三、总结

四、结语

一、红黑树的概念

红黑树是一种二叉搜索树，它的每个结点增加了一个存储位来表示结点的颜色（红色或黑色）。通过对从根到叶子的路径上各个结点的颜色进行约束，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出 2 倍，从而实现了接近平衡的状态。

1.1 红黑树的规则

每个结点不是红色就是黑色
根结点是黑色的
如果一个结点是红色的，则它的两个孩子结点必须是黑色的（即任意一条路径不会有连续的红色结点）
对于任意一个结点，从该结点到其所有 NULL 结点的简单路径上，均包含相同数量的黑色结点

说明：《算法导论》等书籍上补充了一条规则：每个叶子结点 (NIL) 都是黑色的。这里所指的叶子结点不是传统意义上的叶子结点，而是空结点，有些书籍上也把 NIL 叫做外部结点。NIL 是为了方便准确地标识出所有路径，在实际实现中有时会被忽略，大家了解这个概念即可。

1.2 红黑树如何确保最长路径不超过最短路径的 2 倍？

由规则 4 可知，从根到 NULL 结点的每条路径都有相同数量的黑色结点。我们将这个数量称为黑色高度（bh）。

最短路径就是全是黑色结点的路径，长度为 bh
由规则 2 和规则 3 可知，任意一条路径不会有连续的红色结点，因此最长的路径就是一黑一红间隔组成，长度为 2*bh
综合来看，任意一条从根到 NULL 结点路径的长度 h 满足：bh≤h≤2∗bh

1.3 红黑树的效率

假设红黑树中结点数量为 N，最短路径的长度为 h，那么有：2^h−1≤N<2^(2*h)−1，由此可推出h≈logN。这意味着红黑树的增删查改操作最坏情况下的时间复杂度为O(logN)。

与 AVL 树相比，红黑树的表达相对抽象一些。AVL 树通过高度差直观地控制平衡，而红黑树通过颜色约束间接实现近似平衡。两者效率处于同一档次，但插入相同数量的结点时，红黑树的旋转次数更少，因为它对平衡的控制没那么严格。

二、红黑树的实现

2.1 红黑树的结构

首先定义结点的颜色和结构：

// 枚举值表示颜色
enum Colour
{RED,BLACK
};// 按key/value结构实现
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{// 包含parent指针用于平衡控制pair<K, V> _kv;RBTreeNode<K, V>* _left;RBTreeNode<K, V>* _right;RBTreeNode<K, V>* _parent;Colour _col;RBTreeNode(const pair<K, V>& kv): _kv(kv), _left(nullptr), _right(nullptr), _parent(nullptr), _col(RED)  // 新增节点默认为红色{}
};template<class K, class V>
class RBTree
{typedef RBTreeNode<K, V> Node;public:// 成员函数将在后面实现
private:Node* _root = nullptr;
};

2.2 红黑树的插入

插入过程概述

按二叉搜索树规则插入新结点
若为空树，新增结点为黑色；若非空树，新增结点为红色（避免破坏规则 4）
若父亲结点是黑色，插入结束；若父亲结点是红色（违反规则 3），则需要根据叔叔结点的情况进行处理

说明：新增结点标识为 c (cur)，c 的父亲标识为 p (parent)，p 的父亲标识为 g (grandfather)，p 的兄弟标识为 u (uncle)

情况 1：变色处理

当 c 为红，p 为红，g 为黑，u 存在且为红时：

将 p 和 u 变黑，g 变红
把 g 当做新的 c，继续往上更新

分析：p 和 u 都是红色，g 是黑色，将 p 和 u 变黑使左边子树路径各增加一个黑色结点，g 变红保持了 g 所在子树的黑色结点数量不变，同时解决了 c 和 p 连续红色的问题。需要继续往上更新是因为 g 变为红色后，若 g 的父亲也是红色，则仍违反规则 3。

这种情况只需要变色，不需要旋转，无论 c 是 p 的左孩子还是右孩子，p 是 g 的左孩子还是右孩子，处理方式都相同。

情况 2：单旋 + 变色

当 c 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或 u 存在且为黑时：

若 p 是 g 的左孩子，c 是 p 的左孩子：以 g 为旋转点进行右单旋，然后将 p 变黑，g 变红
若 p 是 g 的右孩子，c 是 p 的右孩子：以 g 为旋转点进行左单旋，然后将 p 变黑，g 变红

分析：此时单纯变色无法解决问题，需要旋转 + 变色。旋转后 p 成为新的根，子树黑色结点的数量不变，且没有连续的红色结点，不需要继续往上更新。

情况 3：双旋 + 变色

当 c 为红，p 为红，g 为黑，u 不存在或 u 存在且为黑时：

若 p 是 g 的左孩子，c 是 p 的右孩子：先以 p 为旋转点进行左单旋，再以 g 为旋转点进行右单旋，然后将 c 变黑，g 变红
若 p 是 g 的右孩子，c 是 p 的左孩子：先以 p 为旋转点进行右单旋，再以 g 为旋转点进行左单旋，然后将 c 变黑，g 变红

分析：这种情况是 c 和 p 不在同一条直线上，需要先通过一次旋转将其变为直线，再进行另一次旋转，最后进行变色处理。处理后 c 成为新的根，子树黑色结点的数量不变，且没有连续的红色结点，不需要继续往上更新。

插入代码实现

bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{if (_root == nullptr){_root = new Node(kv);_root->_col = BLACK;return true;}Node* parent = nullptr;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < kv.first){parent = cur;cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > kv.first){parent = cur;cur = cur->_left;}else{// 键已存在，插入失败return false;}}// 插入新节点cur = new Node(kv);cur->_col = RED;  // 新增节点为红色if (parent->_kv.first < kv.first){parent->_right = cur;}else{parent->_left = cur;}cur->_parent = parent;// 调整平衡while (parent && parent->_col == RED){Node* grandfather = parent->_parent;if (parent == grandfather->_left){Node* uncle = grandfather->_right;if (uncle && uncle->_col == RED){// 情况1：叔叔存在且为红，变色处理parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{// 情况2和3：叔叔不存在或为黑，旋转+变色if (cur == parent->_left){// 单旋（右单旋）RotateR(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// 双旋（先左后右）RotateL(parent);RotateR(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;  // 旋转后不需要继续往上处理}}else{Node* uncle = grandfather->_left;if (uncle && uncle->_col == RED){// 情况1：叔叔存在且为红，变色处理parent->_col = BLACK;uncle->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;// 继续往上处理cur = grandfather;parent = cur->_parent;}else{// 情况2和3：叔叔不存在或为黑，旋转+变色if (cur == parent->_right){// 单旋（左单旋）RotateL(grandfather);parent->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}else{// 双旋（先右后左）RotateR(parent);RotateL(grandfather);cur->_col = BLACK;grandfather->_col = RED;}break;  // 旋转后不需要继续往上处理}}}// 确保根节点始终为黑色_root->_col = BLACK;return true;
}// 右单旋
void RotateR(Node* parent)
{Node* subL = parent->_left;Node* subLR = subL->_right;parent->_left = subLR;if (subLR)subLR->_parent = parent;subL->_right = parent;Node* pParent = parent->_parent;parent->_parent = subL;if (pParent == nullptr){_root = subL;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subL;elsepParent->_right = subL;}subL->_parent = pParent;
}// 左单旋
void RotateL(Node* parent)
{Node* subR = parent->_right;Node* subRL = subR->_left;parent->_right = subRL;if (subRL)subRL->_parent = parent;subR->_left = parent;Node* pParent = parent->_parent;parent->_parent = subR;if (pParent == nullptr){_root = subR;}else{if (pParent->_left == parent)pParent->_left = subR;elsepParent->_right = subR;}subR->_parent = pParent;
}

2.3 红黑树的查找

红黑树的查找操作与普通二叉搜索树相同，时间复杂度为O(logN)：

Node* Find(const K& key)
{Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_kv.first < key){cur = cur->_right;}else if (cur->_kv.first > key){cur = cur->_left;}else{// 找到节点return cur;}}// 未找到return nullptr;
}

2.4 红黑树的验证

红黑树的验证需要检查是否满足前面提到的 4 条规则：

bool Check(Node* root, int blackNum, const int refNum)
{if (root == nullptr){// 到达空节点，检查黑色节点数量是否与参考值相等if (refNum != blackNum){cout << "存在黑色结点的数量不相等的路径" << endl;return false;}return true;}// 检查是否有连续的红色节点if (root->_col == RED && root->_parent->_col == RED){cout << root->_kv.first << "存在连续的红色结点" << endl;return false;}// 统计黑色节点数量if (root->_col == BLACK){blackNum++;}// 递归检查左右子树return Check(root->_left, blackNum, refNum) && Check(root->_right, blackNum, refNum);
}bool IsBalance()
{if (_root == nullptr)return true;// 检查根节点是否为黑色if (_root->_col == RED)return false;// 获取参考的黑色节点数量（最左路径的黑色节点数）int refNum = 0;Node* cur = _root;while (cur){if (cur->_col == BLACK)++refNum;cur = cur->_left;}// 检查所有路径return Check(_root, 0, refNum);
}