为什么计算机使用补码存储整数:补码的本质

要理解“两个绝对值相同的有符号整数的和，舍弃进位的最高位后值为0”，需要结合 有符号整数的二进制表示（补码规则） 和 计算机的固定位数运算特性 来拆解，核心是“符号相反、绝对值相等”的两个数在二进制层面的抵消效应。

第一步：明确前提——“绝对值相同的有符号整数”的本质

有符号整数的绝对值相同，意味着它们是 一对“相反数”（符号相反，数值部分相同）。例如：

• 十进制：+5 和 -5（绝对值都是5）
• 十进制：+127 和 -127（绝对值都是127）

在计算机中，有符号整数统一用 补码 存储（解决“正负0”和减法统一为加法的问题），补码的核心规则是：

• 正数的补码 = 原码（二进制数值部分直接表示，最高位为符号位：0=正，1=负）；
• 负数的补码 = 其“绝对值的原码”按位取反 + 1（符号位为1）。

第二步：以具体例子看二进制运算过程

以 8位有符号整数 为例（计算机中整数运算有固定位数，如8/16/32位，超出位数的进位会被舍弃），用“+5”和“-5”演示：

1. 先写出两个数的补码

• +5（正数）：
  符号位=0，数值部分=5的二进制（0000101），所以8位补码为：0000 0101。

• -5（负数）：
  先取绝对值5的原码（0000 0101）→ 按位取反（1111 1010）→ 加1（1111 1011），所以8位补码为：1111 1011。

2. 计算两数的和（二进制加法）

二进制加法规则：0+0=0，0+1=1，1+1=10（本位写0，向高位进1）。
将 +5（0000 0101）和 -5（1111 1011）相加：

  0000 0101  （+5的补码）
+ 1111 1011  （-5的补码）
-----------
1 0000 0000  （结果：本位和为0000 0000，最高位产生进位1）

3. 关键：舍弃“进位的最高位”

8位整数的运算结果只能保留8位，超出的“最高位进位1”会被直接舍弃，最终结果为：0000 0000（对应十进制的0）。

第三步：抽象本质——“相反补码”的加法抵消

为什么会出现这种结果？核心是 负数补码的设计恰好让“正数+负数（绝对值相等）”的二进制和为“全0+进位1”：

1. 设正数的补码为 X（符号位0，数值部分为 a），则其绝对值的原码就是 a；
2. 负数的补码为 ~a + 1（符号位1，数值部分是 a 取反加1）；
3. 两数相加：X + (~a + 1) = (0 + a) + (~a + 1) = (a + ~a) + 1。

而 a 是 n 位二进制数（n 为数值部分位数），a + ~a 的结果是 全1（例如 a=0000101，~a=1111010，和为 1111111）；
再加上1后，全1 + 1 = 1000...0（n+1位，本位全0，最高位进1）。

当计算机按固定位数（如8位）存储时，进位的1被舍弃，剩下的就是 全0，对应十进制的0。

第四步：扩展到任意位数（非8位）

无论整数是16位、32位还是64位，规律完全一致。例如32位有符号整数 +10 和 -10：

• +10 补码：00000000 00000000 00000000 00001010
• -10 补码：11111111 11111111 11111111 11110110
• 相加结果：1 00000000 00000000 00000000 00000000
• 舍弃进位后：00000000 00000000 00000000 00000000（即0）。

总结

“两个绝对值相同的有符号整数的和，舍弃进位最高位后为0”，本质是 计算机用补码表示负数时，相反数的二进制补码相加会产生“全0结果+进位1”，而固定位数运算会舍弃超出的进位，最终结果自然为0。这也是计算机中“减法转化为加法”（a - b = a + (-b)）能正确运算的底层逻辑基础。