符号计算与算法实践｜使用Maple教授​​群论​​和​​图论​​课程

一、可视化教学工具的核心价值

1. ​​抽象概念具象化​​

   • ​​群公理验证​​：通过凯莱表对比展示群/半群/循环结构的运算差异，直观呈现结合律、逆元等抽象概念。
   • ​​子群结构分析​​：分层可视化拟二面体群的子群格，绿色高亮正规子群，蓝色标记群中心，动态展开共轭类分组。

2. ​​动态算法演示​​

   • ​​网络流优化​​：实时显示Ford-Fulkerson算法的流量矩阵与增广路径，通过颜色/线宽对比原生图与最大流分布。
   • ​​图同构映射​​：生成彼得森图与十二面体图的顶点位置插值动画，展示同构变换的连续过程。

二、群论教学的突破性应用

1. ​​反例教学强化理解​​

   • 调用Magma包生成6阶非结合循环结构，通过运算表缺失逆元或非结合性破除学生对群公理的机械记忆。

2. ​​群表示动态探索​​

   • 3D交互式展示交替群A4​的凯莱图，支持旋转观察生成元作用路径，对比不同生成集对应的图谱差异。

三、图论教学的高效实践

1. ​​复杂问题快速验证​​

   • 自动计算花格图(Flower Snark)的色数（χ=3）并生成有效着色方案，可视化验证相邻顶点无同色冲突。
   • 识别汉密尔顿图与欧拉图的拓扑差异，如K2,4​的非汉密尔顿性验证。

2. ​​同构判定的多维度分析​​

   • 结合邻接矩阵谱分析（特征值比对）与顶点度序列，引导学生构建系统性同构判定流程。

四、教学实践建议

1. ​​课前准备​​

   • 预生成凯莱表/着色方案等耗时计算，保存可视化模板（如stylesheet参数）复用。

2. ​​课堂互动设计​​

   • 在3D模式下旋转观察凯莱图，实时修改群生成元观察结构变化。
   • 对比错误/正确着色方案，强化着色规则认知。

3. ​​课后任务设计​​

   • 布置群公理验证任务（如判断S3​是否为群），要求学生提交Maple可视化分析报告。
   • 设计同构图搜索挑战，要求通过谱分析+度序列双重验证。

五、完整视频