高等数学》（同济大学·第7版）第三章第四节“函数的单调性与曲线的凹凸性“

一、函数单调性的判定方法

1. 单调性的定义

• 单调递增：若对区间I内任意x₁<x₂，有f(x₁)≤f(x₂)
• 严格递增：若f(x₁)<f(x₂)（等号不成立）
• 单调递减：若对区间I内任意x₁<x₂，有f(x₁)≥f(x₂)
• 严格递减：若f(x₁)>f(x₂)

2. 判定定理（核心定理）

设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导：

1. 若f’(x)>0（∀x∈(a,b)），则f(x)在[a,b]上严格单调递增
2. 若f’(x)<0（∀x∈(a,b)），则f(x)在[a,b]上严格单调递减
3. 若f’(x)≥0且不恒等于0，则单调递增（非严格）

3. 应用步骤

1. 求函数定义域
2. 计算导数f’(x)
3. 找出f’(x)=0的点和导数不存在的点（关键点）
4. 用关键点划分区间，判断各区间内导数的符号

4. 典型例题

例题1：确定f(x)=x³-3x的单调区间
解：

1. 定义域：R
2. f’(x)=3x²-3=3(x-1)(x+1)
3. 关键点：x=-1,1
4. 区间分析：
   • x∈(-∞,-1)：f’(+)>0 → 单调增
   • x∈(-1,1)：f’(-)<0 → 单调减
   • x∈(1,+∞)：f’(+)>0 → 单调增

几何意义：函数在x=-1处达到局部极大值，在x=1处达到局部极小值。

二、曲线凹凸性的判定方法

1. 凹凸性的定义

• 凹（上凸）：曲线上任意两点连线位于曲线下方（如y=x²）
• 凸（下凸）：曲线上任意两点连线位于曲线上方（如y=-x²）
  （注：不同教材凹凸定义可能相反，请以同济版为准）

2. 判定定理

设f(x)在区间I上二阶可导：

1. 若f’'(x)>0（∀x∈I），则曲线在I上是凹的
2. 若f’'(x)<0（∀x∈I），则曲线在I上是凸的

3. 拐点的定义与判定

• 定义：曲线上凹凸性改变的点
• 判定方法：
  1. 找出f’'(x)=0和不存在的点
  2. 检查这些点两侧f’'(x)是否变号

4. 典型例题

例题2：分析f(x)=x⁴-2x³的凹凸性与拐点
解：

1. f’(x)=4x³-6x²
2. f’'(x)=12x²-12x=12x(x-1)
3. 关键点：x=0,1
4. 区间分析：
   • x∈(-∞,0)：f’'(+)>0 → 凹
   • x∈(0,1)：f’'(-)<0 → 凸
   • x∈(1,+∞)：f’'(+)>0 → 凹
5. 拐点：(0,0)和(1,-1)

三、综合应用实例

1. 函数图像的全面分析

例题3：全面分析f(x)=e^(-x²)的性质
解：

1. 定义域：R
2. 单调性：
   • f’(x)=-2xe^(-x²)
   • x<0：f’(+)>0 → 增
   • x>0：f’(-)<0 → 减
3. 凹凸性：
   • f’'(x)=(4x²-2)e^(-x²)
   • f’'(x)=0 ⇒ x=±√(1/2)
   • 区间划分：
     (-∞,-√(1/2))：f’‘(+)>0 → 凹
     (-√(1/2),√(1/2))：f’‘(-)<0 → 凸
     (√(1/2),+∞)：f’'(+)>0 → 凹
4. 拐点：(±√(1/2), e^(-1/2))

2. 不等式证明

例题4：证明当x>0时，x > ln(1+x)
证：
设f(x)=x-ln(1+x)

• f(0)=0
• f’(x)=1-1/(1+x)=x/(1+x)>0（当x>0）
  ∴ f(x)在x>0时严格单调增
  ⇒ f(x)>f(0)=0 ⇒ x>ln(1+x)

四、常见错误与注意事项

错误类型	正确做法
忽略导数不存在的点	关键点包括f’(x)=0和f’(x)不存在的点
混淆凹凸定义	严格按照教材定义（同济版：f’'>0为凹）
拐点判定不完整	必须验证二阶导数在该点两侧变号
单调性结论推广错误	区间内导数非负⇒单调增（不一定严格）

五、现代应用实例

1. 经济学：效用函数的单调性和凹凸性反映边际效用递减规律
2. 机器学习：损失函数的凸性保证梯度下降法收敛到全局最优
3. 工程设计：材料应力-应变曲线的凹凸性决定稳定性