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连续小波变换（Continuous Wavelet Transform, CWT）

news 2025/6/7 6:19:26

CWT 是一种强大的时频分析工具，它超越了传统傅里叶变换（FT）和短时傅里叶变换（STFT）的局限性，提供了一种自适应的时间-频率分辨率，非常适合分析非平稳信号（频率成分随时间变化的信号）。

一核心思想

1.1时间-频率局域化

像 STFT 一样，CWT 也试图揭示信号在特定时刻和特定频率上的成分。

“特定时刻” 是指信号发生变化、某些特征出现或消失的精确时间点。

“特定频率” 是指信号在该时刻所具有的振荡特性或变化的快慢程度（对应于频率分量）。

“揭示成分” 是指在某个精确时间点上，信号中包含哪些具体的频率分量，以及这些频率分量的能量强度有多大（可以想象为强度或者贡献度）。

传统的傅里叶变换（FT）:

能告诉我们： 整个信号中包含哪些频率成分（比如 50Hz， 100Hz, 200Hz），以及这些频率成分的总能量有多强（频谱图）。

不能告诉我们：

（1）50Hz 的振动是出现在信号的开头、中间还是结尾？

（2）100Hz 的分量是不是只在 0.1 秒到 0.2 秒这个瞬间存在？（它可能是）

（3）那一个突然的“噗”声或尖峰，是由哪些频率组成的？它又发生在何时？

对于信号整体特性不随时间变化的信号（平稳信号），FT 就足够了。然而，现实世界中大量的信号是非平稳信号 (Non-stationary Signal)，它们的频率成分是随时间不断变化的！

时频分析工具就是为了解决这个问题：

局部化观察： 不像 FT 那样把整个信号一股脑分析，而是选取信号上一小段局部时间窗口来观察。

进行“局部 FT” / “局部特征提取”： 在这个小的时间窗口内进行类似 FT 的分析（STFT 就是直接加窗做局部 FT），或者使用具有特定时频特性的函数（如小波，CWT）来分析该窗口内的频率特性。

移动窗口： 将这个分析窗口在时间轴上从头移动到尾，逐步分析信号的每一段局部

绘制结果： 将每次局部分析的结果（该时间点上存在哪些频率分量、强度如何）绘制在一个二维平面上：

X 轴 (横轴)： 时间（即“特定时刻”）

Y 轴 (纵轴)： 频率（即“特定频率”）

颜色 (Z 轴)： 强度/能量（如幅度谱、功率谱密度）或 复数相位（复变换）

可视化图谱： 这种图称为时频谱图（Time-Frequency Spectrum Plot）：

CWT 结果 -> 尺度图 (Scalogram)（将尺度换算成频率）

STFT 结果 -> 声谱图 (Spectrogram)

还有其他表示方式，如 Wigner-Ville 分布。

揭示了在特定的时刻，信号中主要的频率成分有哪几种。

1.2应对非平稳信号

（1）FT 的不足： FT 只能给出信号的全局频率信息，无法知道频率成分何时出现或消失。（）

（2）STFT 的不足： STFT 通过加窗（如汉宁窗、高斯窗）实现了局部化，但窗口大小和形状固定不变。这导致了一个根本性的权衡：

宽窗口： 频率分辨率高，但时间分辨率低（无法精确定位频率突变的时间点）。

窄窗口： 时间分辨率高，但频率分辨率低（无法区分相近的频率）。

（3）CWT 的创新： CWT 引入了小波（Wavelet） 的概念，它是一种具有有限持续时间（或快速衰减）和零均值的振荡波形。CWT 通过缩放（Scale） 和平移（Translation） 这个母小波来分析信号：

缩放（s）： 改变小波函数的宽度。大尺度（s 大） → 窄频带 → 宽小波 → 低频（好频率分辨率）。小尺度（s 小） → 宽频带 → 窄小波 → 高频（好时间分辨率）。

平移（τ）： 将小波在时间轴上移动，分析信号的不同局部区域。

核心优势：CWT 提供了一种自适应的“时频显微镜”。对于低频部分（慢变、持续特征），它“放大”时间窗口（提高频率分辨力）；对于高频部分（快变、瞬态特征），它“缩小”时间窗口（提高时间分辨力）。

二、数学定义

给定一个原始信号 $x(t)$ ，一个母小波函数 $\psi(t)$ ，连续小波变换定义为：

$CWT_x(tau, s) = \frac{1}{\sqrt{s}} \int_{-\infty}^{+\infty} x(t) \psi^* \left( \frac{t - tau}{s} \right) dt$

其中：

$tau$ ：平移（Translation）参数。表示分析窗口的中心在时域上的位置。

$s$ (s > 0)：尺度（Scale）参数：

s > 1：将母小波拉伸（对应于大尺度 -> 低频分量）。

s < 1：将母小波压缩（对应于小尺度 -> 高频分量）。

$\psi^* \left( \frac{t - tau}{s} \right)$ ：经过平移 $tau$ 和缩放 $s$ 后的小波函数。 $\psi^*$ 表示复共轭（如果小波是实函数，则为小波本身）。这被称为“子小波”。

$\frac{1}{\sqrt{s}}$ ：能量归一化因子。用于确保不同尺度（s）下的小波具有相同的能量（即 $\int |\psi_{tau,s}(t)|^2 dt = \int |\psi(t)|^2 dt$ ）。这使得不同尺度下的 CWT 系数具有可比性。

结果： $CWT_x(\tau, s)$ 是一个复值函数（如果母小波是复的），或者是一个实值函数（如果母小波是实函数）。其幅值的平方 $|CWT_x(\tau, s)|^2$ 称为小波能谱（Scalogram），是分析时频谱特征的常用可视化表示。

三母小波（Mother Wavelet） $\psi(t)$ 的关键性质

选择合适的母小波至关重要，它必须满足以下严格条件：

（1）容许性条件（Admissibility Condition）：

$C_{\psi} = \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{|\hat{\psi}(f)|^2}{|f|} df < \infty$

这个条件确保了 CWT 是可逆的（理论上可以通过逆变换从 CWT 系数重构原始信号x(t) 。

关键推论： $\hat{\psi}(0) = 0$ 。这意味着母小波必须在时域上振荡，使得其总积分（平均值）为零：

$\int_{-\infty}^{+\infty} \psi(t) dt = 0$ 这是小波得名的原因。

（2）能量有限性（Finite Energy）：

$\int_{-\infty}^{+\infty} |\psi(t)|^2 dt = 1 \quad$ （通常归一化为1）

配合归一化因子 $\frac{1}{\sqrt{s}}$ ，确保所有尺度的子小波能量都为 1。

（3）紧支性或快速衰减性： 母小波在时域上是局部化的，即只在有限区间内非零或快速衰减到零。这使得分析具有局部性。

四重要参数：尺度 (s) 与频率 (f) 的关系

CWT 的结果是时-尺图（在尺度域表示），但通常我们关心频率。小波的中心频率 ( $f_c$ ) 和尺度 (s) 之间关系为：

$f = \frac{f_c}{s}$

其中：

$f$ ：当前尺度对应分析的中心频率（近似，对于高频精度更高）。

$f_c$ ：母小波本身在尺度 s=1 时的中心频率（是一个常数，由所选小波决定）。

$s$ ：当前尺度。

也就是说，尺度（s）越大，对应分析的频率越低；尺度（s）越小，对应分析的频率越高。它们之间的关系是反比的。

五计算过程

虽然叫“连续”小波变换，但在计算机中实现时，时间和尺度都需要离散化采样：

（1）选择母小波： 根据分析目标（检测瞬态、分析振荡特性、相位信息等）选择合适的小波（如 Morlet, Mexican Hat, Daubechies 系列等）。

（2）定义尺度序列： 设定要分析的尺度范围 $[s_{min}, s_{max}]$ 和采样点数 $N_s$ ，生成对应的尺度数组，通常以几何方式递增。更常用的做法是转换为等间隔采样的伪频率序列。

（3）时间离散化： 信号 $x(t)$ 在等间隔时间点 $t_k$ （ $k = 0, 1, ..., N-1$ ）上采样得到离散信号 $x[k]$ 。

（4）计算每个尺度的系数： 对于每个尺度 $s_i$ ：

构造子小波： 将母小波 $\psi(t)$ 缩放到宽度为 $s_i$ 。

离散化子小波： 按时间采样点离散化该子小波，得到序列 $\psi_{s_i}[k]$ （注意边界）。

归一化： 应用能量归一化因子 $\frac{1}{\sqrt{s_i}}$ 。

卷积： 计算离散信号 $x[k]$ 与归一化后的子小波序列 $\psi_{s_i} [k]$ 的离散卷积或者更高效的（频域）相关运算：

$CWT_x[j, s_i] \approx \sum_{k=0}^{N-1} x[k] \cdot \frac{1}{\sqrt{s_i}} \psi^* \left( \frac{(k-j)*dt}{s_i} \right)$

（其中 dt 是相邻采样点间的时间间隔，j 是时间平移索引）。卷积运算的平移特性自然实现了平移 $tau$ 的扫描。

（5）处理边界效应： 卷积在信号边界处会失真（当小波中心靠近信号起点或终点时，数据“缺失”）。常用解决方法：

零填充（Zero-padding） ：简单但可能引入假象。

对称镜像延拓（Symmetric Extension）：效果较好。

平滑延拓（Smoothing Extrapolation）：较复杂。

去除边界数据或注意标注（Cone of Influence - COI）：避免解释边缘区域。

可视化： 结果 $CWT_x(tau, s)$ 通常表示为一个二维时-频图（横轴时间 $tau$ ，纵轴频率 $f = \frac{f_c}{s}$ ，颜色深浅表示系数幅值 $|CWT|$ 或能量 $|CWT|^2$ ），称为尺度图（Scalogram）。

六常用母小波

（1）Morlet小波（复小波）

$\psi(t) = (2\pi)^{-1/4} e^{i\omega_0 t} e^{-t^2/2} \quad$

近似是复正弦波乘以高斯窗。

优点：具有良好的时频聚集性，提供幅度和相位信息。

应用：分析振荡模式和瞬时频率，尤其是语音信号和生物医学信号（EEG、EMG）等。

（2）墨西哥帽小波 (Mexican Hat / Ricker / Marr Wavelet，实小波)

$\psi(t) = (1 - t^2) e^{-t^2/2}$

优点：时域中光滑、对称、简单，对奇异点和奇异区域特别敏感（过零点对应奇异点/突变点位置）。

应用：检测信号的奇异性、突变点（如地震波初至震相）、图像的边缘检测、轮廓特征

（3）Paul小波（复小波）

更高阶的复指数高斯窗形式。

优点：比Morlet小波有更好的时间分辨率（主瓣更窄）。

应用：非常短的瞬态特征分析。

（4）DOG小波 (Difference of Gaussians，实小波)

$\psi(t) = \frac{1}{\sigma_1}e^{-\frac{t^2}{2\sigma_1^2}} - \frac{1}{\sigma_2}e^{-\frac{t^2}{2\sigma_2^2}} \quad (\sigma_1 < \sigma_2)$

墨西哥帽小波是DOG的一个特例。

应用：类似墨西哥帽，用于特征点检测和多尺度分析。

七核心优势

自适应分辨率： 核心优势！通过尺度缩放动态调节时/频分辨率，完美匹配非平稳信号中高频（瞬态）和低频（持续）成分的分析需求。

对突变/瞬态信号敏感（奇异性分析）： 能够精确检测和定位信号中的突变点（如尖峰、边缘）、断裂或不规则性（使用合适的实小波如墨西哥帽）。

提供相位信息（使用复小波）： Morlet/Paul等复小波的CWT结果包含频率成分在局部时间点上的相位信息（实部+虚部 --> 幅度和相位）。

多分辨率（Multi-Resolution）基础： 是离散小波变换（DWT）的基础理论。

完备性（理论上）： 满足容许性条件的CWT在原理上是可以完美重构原始信号的。

八主要缺点与局限性

计算复杂度高： 与STFT（用FFT快速计算）相比，CWT需要计算大量尺度下的卷积（即使算法优化也慢很多）。特别是密集尺度采样时。

冗余性高： 时间和尺度连续（或密集采样）变化导致大量CWT系数，信息高度冗余。相比之下，DWT提供高效的非冗余表示。

小波选择主观性： 结果质量与分析效果强烈依赖于母小波的选择（是科学也是艺术）。需要一定经验和实验来确定最佳的母小波类型和参数（如Morlet的 $\omega_0$ ）。

尺度与频率的近似关系： $f = \frac{f_c}{s}$ 是中心频率的近似，尤其在高频（s小）或使用非对称小波时，精度可能受限。实际应用中需要根据小波性质进行较正。

边界效应： 信号两端的分析结果易受边界处理方法的影响。

九典型应用领域

CWT广泛用于需要揭示信号时变频谱特征的场合：

语音信号处理： 基频（pitch）跟踪、语音分段、共振峰提取（使用Morlet小波分析振荡）

生物医学信号分析： R波检测、心律失常分析（Mexican Hat）。

地球物理学： 地震波分析（初至震相检测Mexican Hat）、储层特征识别、潮汐数据分析。

故障诊断与振动分析： 旋转机械（轴承、齿轮）的故障特征提取（瞬态冲击检测Mexican Hat）、结构损伤识别。

图像处理： 边缘检测、纹理分析、图像融合/增强/去噪（通常在二维小波变换框架下进行）。

湍流/流体力学： 分析不同尺度（大小涡）上的能量分布和相互作用。

金融时间序列分析： 不同时间尺度下风险和波动率的特征分析。

雷达与通信： 信号特征提取、脉冲检测。

音频与音乐分析： 音符起始点检测、音色分析、和弦识别。

十与STFT和DWT的比较表

特性	连续小波变换 (CWT)	短时傅里叶变换 (STFT)	离散小波变换 (DWT)
分辨率灵活性	可变（自适应）	固定（取决于窗）	固定（通过下取样优化）
时频图	尺度图 (Scalogram)	声谱图 (Spectrogram)	系数图 (分多级子带)
冗余性	高冗余	高冗余	低冗余（正交/双正交基）
计算复杂度	高（逐尺度卷积）	中（通常用FFT）	中/低（快速分解算法）
小波/窗	可更换多种母小波	多种窗函数可选（加窗）	基于特定滤波器组（通常固定）
信息量	原始信号（理论上可逆）	原始信号（理论上可逆，需满足条件）	重构（有失真或近似完美）
奇异性检测	优秀（尤其实小波）	一般	优秀（通过小波模极大值）
相位信息	可提供（需复小波）	可提供（复数表示）	通常不直接提供（实小波基）
主要应用侧重	精细时频结构/奇异性分析	音高/音色快速分析	数据压缩/降噪/多分辨率信号表示

总结： 连续小波变换是一种在时频联合域动态调整分辨率的强大工具，擅长分析含有瞬态、突变或频谱随时间演化的非平稳信号。它的核心价值在于其自适应性（大尺度研究低频持续现象，小尺度捕捉高频瞬态事件）和对奇异性的高度敏感性。尽管计算开销大且具有冗余性，但在需要精细刻画复杂信号的瞬时频谱特征（如语音基频偏移、ECG的R波、机械冲击、地壳震动）的应用领域，CWT 提供了远比 FT 和 STFT 更深刻的洞察力。选择适合问题的母小波和合理设置参数是成功应用的关键。

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