测度定义_测度论整理（一）

出于对自己自学能力的不自信，本科的最后一个学期还是没有选修一些更高阶的课程，感觉巩固一下测度论的基础会是一个更加好的选择233。但是我还欠着很多点集拓扑的内容没有更新完，而且这个学期需要做各种出国的准备，处理毕业论文的事宜，故肯定是来不及详细写下来了。所以我准备挑选一些关键性的概念、思想，或是一些有意义的证明技巧记录一下。各位如果有实变的基础，应该能够大致地看懂在干什么。当然如果之前没有接触过类似内容的话可能就不用仔细阅读了。

整理基于我对北大的《测度论与概率论基础》的学习。书籍pdf的网盘链接我都贴在了目录中“资源获取”的那篇文章中。各位若有需求可以自取。

在测度论学习的过程中，我们经常能够看到实变和概率的影子。故我也尽可能将它们结合在一起说说。

给定一个集合

样本空间）。测度论的目的是建立测度来测量这个集合的各个子集（概率中的 事件）的大小（事件发生的 概率）。当然，测度论本身并不局限于概率。概率测度是满足完全性（

在概率论中，我们已经接触到了概率的公理化定义。具体地说，其由概率空间

集合系， 测度这个函数的 定义域研究清楚（在概率中，这指的是事件域

集合系。我们知道概率空间中的事件域本身是有一些很好的性质的，故我们也从一些具有好的性质的集合系入手研究。

简单地归纳一下各类集合系之间的关系：

单调系（单调集合列极限封闭）

是具有很好性质的集合系（包含全集，补运算封闭，可列并封闭），事实上，其与概率中事件域的定义如出一辙。但是，正因为其有好的性质，我们很难直接地构造出一个 生成

集合系生成的

极小的

关于“生成”，我们通常不方便给出一个对生成集合系中元素的具体描述。但是由半环生成的环的结构我们是清楚的。半环比起环只差了一点：我们只能保持两个元素之差可以进行有限不交并分解，但是并不能保证其落在半环中。那么我们只需要把所有能写成有限不交并形式的集合添加进半环，他就是个环了！

即：

关于这些集合系，值得一提的有如下几点：

为单调系的域必为

域生成的 。

为

。（ 定理）

容易注意到：半环必定包含

一个在概率论中常用的证明技巧是：将一列集合

这样保证了

在什么样的集合系上我们可以做这样的不交分解呢？

我们的一个平凡的回答是在环上可以进行这样的不交分解（因为有限并、有限差封闭）。但是不那么平凡地，在半环上我们也可以进行。

这需要我们注意到若

每个 。这是一个很常用的结论！从半环过渡到其生成的环上再回到半环中的思想也十分巧妙。

在测度论中，当我们要证明的结论与“生成”这个概念相关时，我们用“整体”的思想看待问题会使证明容易很多！

例如：

如果我们想要证明

我们可以转化为：任意取定

注意到“生成”的极小性，我们只需要证明

通过从“整体”的概念入手，把所有与

关于集合系，值得讲的东西其实不多。最后，我们说说实数域上的Borel集。

假定

则这四个集合生成的

都是实数域上的Borel域

这是由于

必定包含

利用实数域上开集都能分解为至多可列个不交开区间之并，立马得到

必定包含

又注意到任意两个

必定包含

考虑到所有开区间都是开集，故

必定包含

注意到

必定包含

注意到

必定包含

得证！

我们之后主要关心在

可测空间。特别地，若 拓扑可测空间。

下次我将简述一下测度的构造以及测度函数的一些有趣的性质。