神经网络中的梯度消失与梯度爆炸

在深层次的神经网络中很容易出现梯度消失与梯度爆炸的问题。这篇博客就详细介绍一下为什么会产生梯度消失与梯度爆炸的问题，以及如何解决。

首先梯度是什么

类比快递员送包裹：

• 神经网络训练时，需要根据预测错误（损失函数）调整每层的参数（比如权重）。
• 梯度就像 “错误快递员”，它从最后一层（输出层）出发，反向传播到每一层，告诉该层 “参数需要调多少”。
• 目标：让梯度顺利送达每一层，指导参数更新，减少预测错误。

梯度消失 / 爆炸的本质：反向传播时 “快递员迷路或暴走”

假设一个 100 层的神经网络，反向传播时梯度要从第 100 层传到第 1 层。
每经过一层，梯度会被该层的权重矩阵和激活函数的导数“放大或缩小”。

1.梯度消失--快递员送到最后没有力气了

• 常见场景：

  • 每层权重矩阵的绝对值普遍小于 1（比如初始化时权重很小），或激活函数导数小于 1（如 Sigmoid 函数导数最大值 0.25）。
  • 每经过一层，梯度就乘以一个小于 1 的数（类似 “打折扣”）。
  • 100 层后：梯度可能从初始值（如 0.5）变成0.5100，几乎接近 0，无法更新前面层的参数。

• 类比：
  想象你托朋友的朋友的朋友……（100 个朋友）传一句话到老家。
  每传一次，话的清晰度打 8 折（比如 “今晚吃饭” 传成 “今晚吃”，再传成 “今晚”……），传到最后可能只剩噪音。

2.梯度爆炸--快递员突然发疯乱送

• 常见场景：

  • 每层权重矩阵的绝对值普遍大于 1（如初始化时权重很大），或激活函数导数大于 1（理论上 ReLU 导数为 1，但实际可能因参数缩放导致放大）。
  • 每经过一层，梯度就乘以一个大于 1 的数（类似 “滚雪球”）。
  • 100 层后：梯度可能从初始值（如 2）变成2100，数值大到无法控制，参数更新时 “乱跳”。

• 类比：
  你让朋友的朋友……（100 个朋友）帮忙传 “借 100 元”，每传一次金额翻倍，传到最后可能变成 “借 1 亿”，完全失控。

为什么深层网络更容易出问题？

1.链式反应的累积效应

• 反向传播的数学本质是链式求导（每层梯度是多个导数的乘积）。
• 层数越多，乘积项越多：
  • 若每个因子都略小于 1，多层后乘积趋近于 0（消失）；
  • 若每个因子都略大于 1，多层后乘积趋近于无穷大（爆炸）。

2. 激活函数的 “先天缺陷”

• 早期常用 Sigmoid/Tanh：
  • 导数范围小（Sigmoid 导数≤0.25，Tanh 导数≤1），容易导致梯度消失。
  • 示例：假设每层导数都是 0.25，10 层后梯度变为0.2510≈0.0000059，几乎消失。
• ReLU 缓解消失但无法根治爆炸：
  • ReLU 导数在正数区域为 1，梯度不会因激活函数缩小，但权重矩阵仍可能放大梯度。

为什么浅层网络不容易出问题？

• 层数少，链式乘积项少：
  比如 5 层网络，即使每层梯度乘 0.5，5 次后是0.55=0.03125，仍有一定幅度，能有效更新参数。
• 梯度 “路程短”：
  信号从输出层传到输入层只需经过几层，“衰减” 或 “放大” 的程度有限。

解决方案

• 核心矛盾：深度带来更强的表达能力，但反向传播时梯度难以稳定传递。
• 比喻：
  就像水管太长时，水压会衰减（消失）或因水流太急爆管（爆炸），导致末端（浅层）得不到正常供水（有效梯度）。
• ResNet 的解决方案：
  通过残差连接增加 “旁路水管”，让梯度可以绕过部分层直接传递，减少链式乘积的层数，从而缓解消失 / 爆炸。

总结

梯度在深层网络中就像传话筒，传的人越多（层数越多），声音越容易变弱（消失）或变吵（爆炸），ResNet 则给它加了个 “扩音器”（残差连接）。